Номер 122, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 122, страница 32.

122. Упростите выражение:

а) $\frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12};$

б) $\frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2}.$

а)

Чтобы упростить выражение $ \frac{y^2-16}{10xy} \cdot \frac{5y}{3y+12} $, выполним следующие действия:

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. Выражение $y^2-16$ является разностью квадратов, поэтому $y^2-16 = (y-4)(y+4)$. В выражении $3y+12$ вынесем общий множитель 3 за скобки: $3y+12 = 3(y+4)$.

2. Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение: $ \frac{(y-4)(y+4)}{10xy} \cdot \frac{5y}{3(y+4)} $

3. Запишем это как одну дробь, перемножив числители и знаменатели: $ \frac{(y-4)(y+4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3(y+4)} $

4. Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $(y+4)$, $y$ и $5$.

• Сокращаем $(y+4)$: $ \frac{(y-4) \cdot 5y}{10xy \cdot 3} $
• Сокращаем $y$: $ \frac{(y-4) \cdot 5}{10x \cdot 3} $
• Сокращаем 5 и 10. В числителе остается 1, в знаменателе 2: $ \frac{(y-4) \cdot 1}{2x \cdot 3} $

5. Перемножим оставшиеся множители: $ \frac{y-4}{6x} $

Ответ: $ \frac{y-4}{6x} $

б)

Чтобы упростить выражение $ \frac{b-a}{a} \cdot \frac{3ab}{a^2-b^2} $, выполним следующие действия:

1. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $b-a$ вынесем за скобки $-1$: $b-a = -(a-b)$. Знаменатель $a^2-b^2$ является разностью квадратов: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

2. Подставим разложенные выражения обратно в исходное произведение: $ \frac{-(a-b)}{a} \cdot \frac{3ab}{(a-b)(a+b)} $

3. Запишем это как одну дробь: $ \frac{-(a-b) \cdot 3ab}{a \cdot (a-b)(a+b)} $

4. Сократим общие множители $(a-b)$ и $a$ в числителе и знаменателе:

• Сокращаем $(a-b)$: $ \frac{-1 \cdot 3ab}{a(a+b)} $
• Сокращаем $a$: $ \frac{-3b}{a+b} $

5. В результате получаем упрощенное выражение: $ -\frac{3b}{a+b} $

Ответ: $ -\frac{3b}{a+b} $