Номер 117, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 117, страница 31.

117. Представьте в виде дроби:

а) $ \left(\frac{5a^3}{3b^2}\right)^4; $

б) $ \left(\frac{2x^2}{3y^3}\right)^5; $

в) $ \left(-\frac{10m^2}{n^2p}\right)^3; $

г) $ \left(-\frac{b^3c^2}{8a^3}\right)^2. $

а)

Для того чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. При возведении степени в степень их показатели перемножаются. Применяем правило возведения дроби в степень $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

$(\frac{5a^3}{3b^2})^4 = \frac{(5a^3)^4}{(3b^2)^4} = \frac{5^4 \cdot (a^3)^4}{3^4 \cdot (b^2)^4} = \frac{625a^{3 \cdot 4}}{81b^{2 \cdot 4}} = \frac{625a^{12}}{81b^8}$

Ответ: $\frac{625a^{12}}{81b^8}$

б)

Аналогично предыдущему пункту, возводим в пятую степень числитель и знаменатель дроби.

$(\frac{2x^2}{3y^3})^5 = \frac{(2x^2)^5}{(3y^3)^5} = \frac{2^5 \cdot (x^2)^5}{3^5 \cdot (y^3)^5} = \frac{32x^{2 \cdot 5}}{243y^{3 \cdot 5}} = \frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

Ответ: $\frac{32x^{10}}{243y^{15}}$

в)

При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае в куб), результат будет отрицательным. Знак минус можно вынести за скобки.

$(-\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -(\frac{10m^2}{n^2p})^3 = -\frac{(10m^2)^3}{(n^2p)^3} = -\frac{10^3 \cdot (m^2)^3}{(n^2)^3 \cdot p^3} = -\frac{1000m^{2 \cdot 3}}{n^{2 \cdot 3}p^3} = -\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

Ответ: $-\frac{1000m^6}{n^6p^3}$

г)

При возведении отрицательной дроби в четную степень (в данном случае в квадрат), результат будет положительным, так как минус на минус дает плюс.

$(-\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = (\frac{b^3c^2}{8a^3})^2 = \frac{(b^3c^2)^2}{(8a^3)^2} = \frac{(b^3)^2 \cdot (c^2)^2}{8^2 \cdot (a^3)^2} = \frac{b^{3 \cdot 2}c^{2 \cdot 2}}{64a^{3 \cdot 2}} = \frac{b^6c^4}{64a^6}$

Ответ: $\frac{b^6c^4}{64a^6}$