Номер 121, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 121, страница 31.

121. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{xy}{a^2+a^3} \cdot \frac{a+a^2}{x^2y^2}$;

б) $\frac{6a}{x^2-x} \cdot \frac{2x-2}{3ax}$

а) $ \frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} $

Чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели:

$ \frac{xy}{a^2 + a^3} \cdot \frac{a + a^2}{x^2y^2} = \frac{xy \cdot (a + a^2)}{(a^2 + a^3) \cdot x^2y^2} $

Для упрощения дроби разложим на множители выражения в числителе и знаменателе. Для этого вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $ a + a^2 = a(1 + a) $

В знаменателе: $ a^2 + a^3 = a^2(1 + a) $

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{xy \cdot a(1 + a)}{a^2(1 + a) \cdot x^2y^2} $

Теперь сократим общие множители в числителе и знаменателе. Общими множителями являются $ a $, $ (1+a) $, $ x $ и $ y $. После сокращения получаем:

$ \frac{\cancel{x}\cancel{y} \cdot \cancel{a}(\cancel{1 + a})}{\cancel{a} \cdot a \cdot (\cancel{1 + a}) \cdot x \cdot \cancel{x} \cdot y \cdot \cancel{y}} = \frac{1}{a \cdot x \cdot y} = \frac{1}{axy} $

Ответ: $ \frac{1}{axy} $

б) $ \frac{6a}{x^2 - x} \cdot \frac{2x - 2}{3ax} $

Умножим числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй:

$ \frac{6a \cdot (2x - 2)}{(x^2 - x) \cdot 3ax} $

Разложим на множители выражения в числителе и знаменателе для последующего сокращения. Вынесем общие множители за скобки:

В числителе: $ 2x - 2 = 2(x - 1) $

В знаменателе: $ x^2 - x = x(x - 1) $

Подставим разложенные выражения обратно в дробь:

$ \frac{6a \cdot 2(x - 1)}{x(x - 1) \cdot 3ax} $

Объединим числовые и буквенные множители:

$ \frac{12a(x - 1)}{3ax^2(x - 1)} $

Сократим общие множители $ 3 $, $ a $ и $ (x - 1) $. Также сократим числовые коэффициенты $ 12 $ и $ 3 $ на $ 3 $:

$ \frac{\cancel{12}^4 \cancel{a} (\cancel{x - 1})}{\cancel{3} \cancel{a} x^2 (\cancel{x - 1})} = \frac{4}{x^2} $

Ответ: $ \frac{4}{x^2} $