Номер 116, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 116, страница 31.

116. Возведите в степень:

а) $\left(\frac{2a}{p^2 q^3}\right)^4$;

б) $\left(\frac{3a^2 b^3}{s^4}\right)^2$;

в) $\left(-\frac{2a^2 b}{3mn^3}\right)^2$;

г) $\left(-\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель в числителе и знаменателе. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$, $(abc)^n = a^n b^n c^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

$\left(\frac{2a}{p^2q^3}\right)^4 = \frac{(2a)^4}{(p^2q^3)^4} = \frac{2^4 \cdot a^4}{(p^2)^4 \cdot (q^3)^4} = \frac{16a^4}{p^{2 \cdot 4}q^{3 \cdot 4}} = \frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

Ответ: $\frac{16a^4}{p^8q^{12}}$

б) Применим те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

$\left(\frac{3a^2b^3}{s^4}\right)^2 = \frac{(3a^2b^3)^2}{(s^4)^2} = \frac{3^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (b^3)^2}{(s^4)^2} = \frac{9a^{2 \cdot 2}b^{3 \cdot 2}}{s^{4 \cdot 2}} = \frac{9a^4b^6}{s^8}$

Ответ: $\frac{9a^4b^6}{s^8}$

в) При возведении отрицательного выражения в четную степень (в данном случае, в квадрат), знак минус исчезает, так как $(-1)^2 = 1$.

$\left(-\frac{2a^2b}{3mn^3}\right)^2 = \left(\frac{2a^2b}{3mn^3}\right)^2 = \frac{(2a^2b)^2}{(3mn^3)^2} = \frac{2^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2}{3^2 \cdot m^2 \cdot (n^3)^2} = \frac{4a^{2 \cdot 2}b^2}{9m^2n^{3 \cdot 2}} = \frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

Ответ: $\frac{4a^4b^2}{9m^2n^6}$

г) При возведении отрицательного выражения в нечетную степень (в данном случае, в куб), знак минус сохраняется, так как $(-1)^3 = -1$.

$\left(-\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3 = - \left(\frac{3x^2}{2y^3}\right)^3 = - \frac{(3x^2)^3}{(2y^3)^3} = - \frac{3^3 \cdot (x^2)^3}{2^3 \cdot (y^3)^3} = - \frac{27x^{2 \cdot 3}}{8y^{3 \cdot 3}} = -\frac{27x^6}{8y^9}$

Ответ: $-\frac{27x^6}{8y^9}$