Номер 112, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 112, страница 30.

112. Упростите выражение:

а) $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3};$

б) $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2};$

в) $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right);$

г) $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy};$

а) $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3}$
Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числители и знаменатели дробей, а затем провести сокращение.
$\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3} = \frac{48 \cdot 7 \cdot x^5 \cdot y^2}{49 \cdot 16 \cdot y^4 \cdot x^3}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные отдельно для удобства сокращения:
$(\frac{48 \cdot 7}{49 \cdot 16}) \cdot (\frac{x^5}{x^3}) \cdot (\frac{y^2}{y^4})$
Сократим числовые коэффициенты: 48 и 16 делятся на 16 ($48/16 = 3$), а 49 и 7 делятся на 7 ($7/49 = 1/7$).
$\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$
$\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
Теперь объединим полученные результаты:
$\frac{3}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3x^2}{7y^2}$
Ответ: $\frac{3x^2}{7y^2}$

б) $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2}$
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2} = \frac{18 \cdot 22 \cdot m^3 \cdot n^4}{11 \cdot 9 \cdot n^3 \cdot m^2}$
Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные:
$(\frac{18 \cdot 22}{11 \cdot 9}) \cdot (\frac{m^3}{m^2}) \cdot (\frac{n^4}{n^3})$
Сократим числа: 18 и 9 делятся на 9 ($18/9 = 2$), а 22 и 11 делятся на 11 ($22/11 = 2$).
$2 \cdot 2 = 4$
Сократим переменные:
$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$
$\frac{n^4}{n^3} = n^{4-3} = n$
Объединим результаты:
$4 \cdot m \cdot n = 4mn$
Ответ: $4mn$

в) $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)$
Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным. Представим $2,5$ как обыкновенную дробь $\frac{5}{2}$.
$-\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \frac{5y^4}{2 \cdot 27x^5} = -\frac{72 \cdot 5 \cdot x^4 \cdot y^4}{25 \cdot 2 \cdot 27 \cdot y^5 \cdot x^5}$
Сгруппируем и сократим:
$-(\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 2 \cdot 27}) \cdot (\frac{x^4}{x^5}) \cdot (\frac{y^4}{y^5})$
Сократим коэффициенты: 72 и 27 делятся на 9 ($72/9=8, 27/9=3$), 5 и 25 делятся на 5 ($5/25=1/5$), 8 и 2 делятся на 2 ($8/2=4$).
$-(\frac{8 \cdot 5}{25 \cdot 2 \cdot 27}) = -(\frac{(8/2) \cdot (5/5)}{(25/5) \cdot (2/2) \cdot 27}) \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = -(\frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot 27}) = -(\frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 9)}) \rightarrow$ Ошибка в рассуждении. Правильно так: $-(\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 54}) = -(\frac{8 \cdot 9 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 9}) = -(\frac{8}{30}) = -\frac{4}{15}$.
Сократим переменные:
$\frac{x^4}{x^5} = x^{4-5} = x^{-1} = \frac{1}{x}$
$\frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
Объединим результаты:
$-\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{4}{15xy}$
Ответ: $-\frac{4}{15xy}$

г) $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}$
Результат умножения будет отрицательным. Перемножим дроби:
$-\frac{35 \cdot 8 \cdot a \cdot x^2 \cdot a \cdot b}{12 \cdot 21 \cdot b^2 \cdot y \cdot x \cdot y}$
Сгруппируем и сократим:
$-(\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 21}) \cdot (\frac{a \cdot a}{1}) \cdot (\frac{b}{b^2}) \cdot (\frac{x^2}{x}) \cdot (\frac{1}{y \cdot y})$
Сократим коэффициенты: 35 и 21 делятся на 7 ($35/7=5, 21/7=3$), 8 и 12 делятся на 4 ($8/4=2, 12/4=3$).
$-(\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3}) = -\frac{10}{9}$
Сократим переменные:
$a \cdot a = a^2$
$\frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{1}{y \cdot y} = \frac{1}{y^2}$
Объединим результаты:
$-\frac{10}{9} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{10a^2x}{9by^2}$
Ответ: $-\frac{10a^2x}{9by^2}$