Номер 111, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 111, страница 30.

111. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3}$;

б) $\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2$;

в) $6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3}$;

г) $\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение $15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3}$ в дробь, необходимо представить множитель $15x^2$ в виде дроби со знаменателем 1 и затем выполнить умножение дробей. Числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2}{1} \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2 \cdot 7}{1 \cdot 6x^3} = \frac{105x^2}{6x^3}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем общие делители для числителя и знаменателя.

Числовые коэффициенты 105 и 6 делятся на 3: $105 \div 3 = 35$, $6 \div 3 = 2$.

Степени переменной $x$ сокращаются по правилу $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. В нашем случае $\frac{x^2}{x^3} = x^{2-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Выполним сокращение:

$\frac{105x^2}{6x^3} = \frac{3 \cdot 35 \cdot x^2}{3 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{35}{2x}$

Ответ: $\frac{35}{2x}$

б) Для преобразования выражения $\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2$ в дробь, представим множитель $2y^2$ как дробь $\frac{2y^2}{1}$ и перемножим дроби.

$\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2 = \frac{25}{16y^2} \cdot \frac{2y^2}{1} = \frac{25 \cdot 2y^2}{16y^2}$

Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить одинаковые множители $y^2$ в числителе и знаменателе.

$\frac{25 \cdot 2 \cdot y^2}{16 \cdot y^2} = \frac{50}{16}$

Сократим числовую дробь $\frac{50}{16}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\frac{50 \div 2}{16 \div 2} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$

в) Чтобы преобразовать выражение $6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3}$ в дробь, представим $6am^2$ как дробь $\frac{6am^2}{1}$ и выполним умножение.

$6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2}{1} \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2 \cdot 4a}{3m^3} = \frac{24a \cdot a \cdot m^2}{3m^3} = \frac{24a^2m^2}{3m^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{24}{3} = 8$.

Сократим степени переменной $m$: $\frac{m^2}{m^3} = \frac{1}{m}$.

Переменная $a^2$ остается в числителе. Объединяем все части:

$\frac{24a^2m^2}{3m^3} = \frac{3 \cdot 8 \cdot a^2 \cdot m^2}{3 \cdot m^2 \cdot m} = \frac{8a^2}{m}$

Ответ: $\frac{8a^2}{m}$

г) Для преобразования выражения $\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2$ в дробь, представим $10a^2$ как дробь $\frac{10a^2}{1}$ и перемножим их.

$\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2 = \frac{2b}{5a^3} \cdot \frac{10a^2}{1} = \frac{2b \cdot 10a^2}{5a^3} = \frac{20ba^2}{5a^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{20}{5} = 4$.

Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$.

Переменная $b$ остается в числителе. Собираем всё вместе:

$\frac{20ba^2}{5a^3} = \frac{4 \cdot 5 \cdot b \cdot a^2}{5 \cdot a^2 \cdot a} = \frac{4b}{a}$

Ответ: $\frac{4b}{a}$