Номер 114, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 114, страница 31.

114. Упростите выражение:

а) $ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} $

б) $ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} $

а)

Для упрощения данного выражения необходимо перемножить числители и знаменатели дробей, а затем сократить полученную дробь, сокращая общие множители.

Исходное выражение: $$ \frac{2a^2b}{3xy} \cdot \frac{3x^2y}{4ab^2} \cdot \frac{6ax}{15b^2} $$

Сначала запишем все множители в одну дробь, перемножив числители и знаменатели соответственно: $$ \frac{2a^2b \cdot 3x^2y \cdot 6ax}{3xy \cdot 4ab^2 \cdot 15b^2} $$

Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, чтобы упростить их: $$ \frac{(2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot b \cdot (x^2 \cdot x) \cdot y}{(3 \cdot 4 \cdot 15) \cdot a \cdot (b^2 \cdot b^2) \cdot x \cdot y} $$

Выполним умножение коэффициентов и сложение степеней для переменных: $$ \frac{36 \cdot a^{2+1} \cdot b^1 \cdot x^{2+1} \cdot y^1}{180 \cdot a^1 \cdot b^{2+2} \cdot x^1 \cdot y^1} = \frac{36a^3bx^3y}{180ab^4xy} $$

Теперь сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $$ \frac{36}{180} = \frac{36}{5 \cdot 36} = \frac{1}{5} $$

Сократим переменные, используя правило деления степеней $ \frac{c^m}{c^n} = c^{m-n} $: $$ \frac{a^3}{a} = a^{3-1} = a^2 $$ $$ \frac{b}{b^4} = b^{1-4} = b^{-3} = \frac{1}{b^3} $$ $$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $$ $$ \frac{y}{y} = y^{1-1} = y^0 = 1 $$

Объединим все упрощенные части: $$ \frac{1}{5} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b^3} \cdot x^2 \cdot 1 = \frac{a^2x^2}{5b^3} $$

Ответ: $ \frac{a^2x^2}{5b^3} $

б)

Упростим выражение, аналогично предыдущему пункту, перемножив дроби и сократив общие множители.

Исходное выражение: $$ \frac{6m^3n^2}{35p^3} \cdot \frac{49n^4}{m^5p^3} \cdot \frac{5m^4p^2}{42n^6} $$

Запишем произведение в виде одной дроби: $$ \frac{6m^3n^2 \cdot 49n^4 \cdot 5m^4p^2}{35p^3 \cdot m^5p^3 \cdot 42n^6} $$

Сгруппируем коэффициенты и переменные: $$ \frac{(6 \cdot 49 \cdot 5) \cdot (m^3 \cdot m^4) \cdot (n^2 \cdot n^4) \cdot p^2}{(35 \cdot 42) \cdot m^5 \cdot n^6 \cdot (p^3 \cdot p^3)} $$

Выполним умножение и сложение степеней: $$ \frac{1470 \cdot m^{3+4} \cdot n^{2+4} \cdot p^2}{1470 \cdot m^5 \cdot n^6 \cdot p^{3+3}} = \frac{1470m^7n^6p^2}{1470m^5n^6p^6} $$

Сократим числовые коэффициенты. Они равны, поэтому их отношение равно 1: $$ \frac{1470}{1470} = 1 $$

Сократим переменные: $$ \frac{m^7}{m^5} = m^{7-5} = m^2 $$ $$ \frac{n^6}{n^6} = n^{6-6} = n^0 = 1 $$ $$ \frac{p^2}{p^6} = p^{2-6} = p^{-4} = \frac{1}{p^4} $$

Соберем все части вместе, чтобы получить окончательный результат: $$ 1 \cdot m^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{p^4} = \frac{m^2}{p^4} $$

Ответ: $ \frac{m^2}{p^4} $