Номер 118, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 118, страница 31.

118. Зная, что $a - \frac{5}{a} = 2$, найдите значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Нам дано равенство $a - \frac{5}{a} = 2$. Необходимо найти значение выражения $a^2 + \frac{25}{a^2}$.

Для того чтобы связать данное и искомое выражения, возведем обе части исходного равенства в квадрат.

$(a - \frac{5}{a})^2 = 2^2$

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части уравнения, приняв $x=a$ и $y=\frac{5}{a}$, получим:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{5}{a} + (\frac{5}{a})^2 = 4$

Упростим выражение в левой части:

$a^2 - 2 \cdot 5 + \frac{25}{a^2} = 4$

$a^2 - 10 + \frac{25}{a^2} = 4$

Теперь мы можем выразить искомую величину $a^2 + \frac{25}{a^2}$, перенеся член $-10$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 4 + 10$

$a^2 + \frac{25}{a^2} = 14$

Ответ: 14