Номер 124, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 124, страница 32.

124. Найдите значение выражения:

а) $ \frac{5mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{5n - 1} $, если $ m = \frac{1}{4}, n = -3; $

б) $ \frac{(x + 2)^2}{3x + 9} \cdot \frac{2x + 6}{x^2 - 4} $, если $ x = 0,5; -1,5. $

а)

Сначала упростим данное выражение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители.

В числителе первой дроби вынесем общий множитель $m$ за скобки: $5mn - m = m(5n - 1)$.

Числитель второй дроби является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $16m^2 - n^2 = (4m)^2 - n^2 = (4m-n)(4m+n)$.

Теперь подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{5mn - m}{4m + n} \cdot \frac{16m^2 - n^2}{5n - 1} = \frac{m(5n - 1)}{4m + n} \cdot \frac{(4m - n)(4m + n)}{5n - 1}$

Прежде чем сокращать, проверим область допустимых значений (ОДЗ) при заданных $m=\frac{1}{4}$ и $n=-3$. Знаменатели не должны равняться нулю: $4m+n = 4(\frac{1}{4}) + (-3) = 1-3 = -2 \ne 0$, и $5n-1 = 5(-3)-1 = -15-1 = -16 \ne 0$. Так как условия выполняются, мы можем выполнить сокращение.

Сократим общие множители $(4m+n)$ и $(5n-1)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{m\cancel{(5n - 1)}}{\cancel{4m + n}} \cdot \frac{(4m - n)\cancel{(4m + n)}}{\cancel{5n - 1}} = m(4m - n)$

Теперь подставим числовые значения $m = \frac{1}{4}$ и $n = -3$ в упрощенное выражение:

$m(4m - n) = \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot \frac{1}{4} - (-3)) = \frac{1}{4} \cdot (1 + 3) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.

Ответ: 1.

б)

Сначала упростим данное выражение, разложив его части на множители.

Знаменатель первой дроби: $3x+9 = 3(x+3)$.

Числитель второй дроби: $2x+6 = 2(x+3)$.

Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $x^2-4 = x^2-2^2 = (x-2)(x+2)$.

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{(x+2)^2}{3x+9} \cdot \frac{2x+6}{x^2-4} = \frac{(x+2)(x+2)}{3(x+3)} \cdot \frac{2(x+3)}{(x-2)(x+2)}$

ОДЗ: знаменатели не равны нулю, то есть $3x+9 \ne 0 \Rightarrow x \ne -3$ и $x^2-4 \ne 0 \Rightarrow x \ne \pm 2$. Заданные значения $x=0,5$ и $x=-1,5$ не нарушают ОДЗ, поэтому сокращение возможно.

Сократим общие множители $(x+3)$ и $(x+2)$:

$\frac{\cancel{(x+2)}(x+2)}{3\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{2\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+2)}} = \frac{2(x+2)}{3(x-2)}$

Теперь найдем значение выражения для каждого из заданных значений $x$.

1. При $x = 0,5$:

$\frac{2(0,5+2)}{3(0,5-2)} = \frac{2 \cdot 2,5}{3 \cdot (-1,5)} = \frac{5}{-4,5} = -\frac{50}{45} = -\frac{10}{9}$.

2. При $x = -1,5$:

$\frac{2(-1,5+2)}{3(-1,5-2)} = \frac{2 \cdot 0,5}{3 \cdot (-3,5)} = \frac{1}{-10,5} = -\frac{10}{105} = -\frac{2}{21}$.

Ответ: $-\frac{10}{9}$ при $x=0,5$; $-\frac{2}{21}$ при $x=-1,5$.