Номер 129, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 129, страница 32.

129. Упростите выражение:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{a^2 - ab + bc - ac} + \frac{a + 3b}{b - a} + \frac{a + 2c}{a - c}.$

Для упрощения данного выражения необходимо привести все дроби к общему знаменателю. Для этого выполним следующие шаги.

Шаг 1: Преобразование знаменателей

Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя метод группировки:

$a^2 - ab + bc - ac = (a^2 - ab) + (bc - ac) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$

Знаменатель второй дроби $b - a$ можно представить как $-(a - b)$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} + \frac{a + 3b}{-(a - b)} + \frac{a + 2c}{a - c}$

Изменим знак второй дроби, вынеся минус перед дробью:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{a + 3b}{a - b} + \frac{a + 2c}{a - c}$

Шаг 2: Приведение к общему знаменателю

Общим знаменателем для всех трех дробей является выражение $(a - b)(a - c)$. Приведем все дроби к этому знаменателю, домножив вторую дробь на $(a-c)$, а третью на $(a-b)$:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc}{(a - b)(a - c)} - \frac{(a + 3b)(a - c)}{(a - b)(a - c)} + \frac{(a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$

Шаг 3: Объединение дробей и раскрытие скобок

Теперь объединим числители под общим знаменателем:

$\frac{(a^2 - 4ac + 3bc) - (a + 3b)(a - c) + (a + 2c)(a - b)}{(a - b)(a - c)}$

Раскроем скобки в числителе, помня о знаке минус перед второй группой слагаемых:

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - (a^2 - ac + 3ab - 3bc) + (a^2 - ab + 2ac - 2bc)}{(a - b)(a - c)}$

$\frac{a^2 - 4ac + 3bc - a^2 + ac - 3ab + 3bc + a^2 - ab + 2ac - 2bc}{(a - b)(a - c)}$

Шаг 4: Упрощение числителя

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$(a^2 - a^2 + a^2) + (-4ac + ac + 2ac) + (3bc + 3bc - 2bc) + (-3ab - ab) = a^2 - ac + 4bc - 4ab$

Теперь разложим полученный числитель на множители методом группировки:

$a^2 - ac - 4ab + 4bc = (a^2 - ac) - (4ab - 4bc) = a(a - c) - 4b(a - c) = (a - c)(a - 4b)$

Шаг 5: Завершение упрощения

Подставим разложенный на множители числитель обратно в дробь:

$\frac{(a - c)(a - 4b)}{(a - b)(a - c)}$

Сократим общий множитель $(a - c)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $a \neq c$):

$\frac{a - 4b}{a - b}$

Ответ: $\frac{a - 4b}{a - b}$