Номер 128, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 128, страница 32.

128. Докажите, что если дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом дроби, то и произведение $ab$ можно представить в виде квадрата некоторого выражения.

Пусть по условию задачи дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом некоторой дроби. Мы можем обозначить эту некоторую дробь как $k$, где $k$ — это некоторое выражение (например, другая дробь $\frac{c}{d}$). Тогда условие можно записать в виде математического равенства:

$\frac{a}{b} = k^2$

В этом выражении подразумевается, что $b \neq 0$.

Нам необходимо доказать, что произведение $ab$ можно представить в виде квадрата некоторого выражения. Для этого выполним преобразование исходного равенства. Умножим обе части равенства на $b^2$. Так как $b \neq 0$, то и $b^2 \neq 0$, поэтому данное действие является корректным.

$\frac{a}{b} \cdot b^2 = k^2 \cdot b^2$

В левой части равенства можно сократить $b$:

$a \cdot b = k^2 \cdot b^2$

Теперь рассмотрим правую часть полученного равенства. Используя свойство степеней, согласно которому произведение квадратов равно квадрату произведения ($x^2 \cdot y^2 = (xy)^2$), мы можем записать:

$k^2 \cdot b^2 = (k \cdot b)^2$

Следовательно, мы получаем:

$ab = (kb)^2$

Это означает, что произведение $ab$ является квадратом выражения $kb$. Таким образом, утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано. Если дробь $\frac{a}{b}$ является квадратом выражения $k$ (т.е. $\frac{a}{b} = k^2$), то произведение $ab$ является квадратом выражения $kb$ (т.е. $ab = (kb)^2$).