Номер 135, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 135, страница 34.

135. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{3x^2}{5y^3} : \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3x}; $

б) $ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4}. $

а) Чтобы перемножить алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели. Запишем все множители в одну общую дробь.

$ \frac{3x^2}{5y^3} \cdot \frac{9x^3}{2y^2} \cdot \frac{5y}{3x} = \frac{3x^2 \cdot 9x^3 \cdot 5y}{5y^3 \cdot 2y^2 \cdot 3x} $

Теперь сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и выполним сокращение общих множителей. Сокращаем 3 и 3, а также 5 и 5.

$ \frac{\cancel{3} \cdot 9 \cdot \cancel{5} \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot y}{\cancel{5} \cdot 2 \cdot \cancel{3} \cdot y^3 \cdot y^2 \cdot x} = \frac{9 \cdot x^2 \cdot x^3 \cdot y}{2 \cdot y^3 \cdot y^2 \cdot x} $

Используя свойства степеней ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$), упростим выражение с переменными:

$ \frac{9 \cdot x^{2+3} \cdot y^1}{2 \cdot y^{3+2} \cdot x^1} = \frac{9x^5y}{2y^5x} $

Сократим степени переменных $x$ и $y$:

$ \frac{9}{2} \cdot \frac{x^5}{x^1} \cdot \frac{y^1}{y^5} = \frac{9}{2} \cdot x^{5-1} \cdot y^{1-5} = \frac{9}{2} \cdot x^4 \cdot y^{-4} = \frac{9x^4}{2y^4} $

Ответ: $ \frac{9x^4}{2y^4} $

б) В данном выражении есть деление на дробь. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Заменим операцию деления на умножение:

$ \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} : \frac{3p}{4q^4} = \frac{7p^4}{10q^3} \cdot \frac{5q}{14p^2} \cdot \frac{4q^4}{3p} $

Теперь, как и в предыдущем примере, запишем все в одну дробь:

$ \frac{7p^4 \cdot 5q \cdot 4q^4}{10q^3 \cdot 14p^2 \cdot 3p} $

Сгруппируем и сократим числовые коэффициенты: $10$ и $5$ сокращаются на $5$, $14$ и $7$ сокращаются на $7$.

$ \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{5} \cdot 4 \cdot p^4 \cdot q \cdot q^4}{\cancel{10}_2 \cdot \cancel{14}_2 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p} = \frac{4 \cdot p^4 \cdot q \cdot q^4}{2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p} $

В знаменателе $2 \cdot 2 = 4$. Сокращаем $4$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{4} \cdot p^4 \cdot q \cdot q^4}{\cancel{4} \cdot 3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p} = \frac{p^4 \cdot q \cdot q^4}{3 \cdot q^3 \cdot p^2 \cdot p} $

Упростим выражение с переменными, используя свойства степеней:

$ \frac{p^4 \cdot q^{1+4}}{3 \cdot q^3 \cdot p^{2+1}} = \frac{p^4 q^5}{3 p^3 q^3} $

Сократим степени переменных $p$ и $q$:

$ \frac{1}{3} \cdot p^{4-3} \cdot q^{5-3} = \frac{1}{3} \cdot p^1 \cdot q^2 = \frac{pq^2}{3} $

Ответ: $ \frac{pq^2}{3} $