Номер 140, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 140, страница 35.

140. Найдите значение выражения:

a) $ \frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2)$, если $x = 2,5; -1;$

б) $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$, если $a = 26, b = -12.$

а) Сначала упростим выражение $\frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2)$.

Чтобы разделить дробь на выражение, нужно умножить эту дробь на выражение, обратное делителю:

$\frac{4x^2 - 4x}{x+3} : (2x - 2) = \frac{4x^2 - 4x}{x+3} \cdot \frac{1}{2x - 2}$

Теперь разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй. В числителе $4x^2 - 4x$ вынесем за скобки общий множитель $4x$. В выражении $2x - 2$ вынесем за скобки $2$.

$4x^2 - 4x = 4x(x-1)$

$2x - 2 = 2(x-1)$

Подставим полученные выражения обратно:

$\frac{4x(x-1)}{x+3} \cdot \frac{1}{2(x-1)}$

Сократим общие множители $2$ и $(x-1)$ в числителе и знаменателе (при условии, что $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq 1$):

$\frac{4x(x-1)}{x+3 \cdot 2(x-1)} = \frac{2x}{x+3}$

Теперь найдем значение упрощенного выражения для каждого значения $x$.

1. При $x = 2,5$:

$\frac{2 \cdot 2,5}{2,5 + 3} = \frac{5}{5,5} = \frac{50}{55} = \frac{10}{11}$

2. При $x = -1$:

$\frac{2 \cdot (-1)}{-1 + 3} = \frac{-2}{2} = -1$

Ответ: $\frac{10}{11}$; $-1$.

б) Сначала упростим выражение $(3a + 6b) : \frac{2a^2 - 8b^2}{a+b}$.

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$(3a + 6b) \cdot \frac{a+b}{2a^2 - 8b^2}$

Разложим на множители выражение в первых скобках и знаменатель дроби. В выражении $3a+6b$ вынесем за скобки $3$. В знаменателе $2a^2 - 8b^2$ вынесем за скобки $2$.

$3a + 6b = 3(a+2b)$

$2a^2 - 8b^2 = 2(a^2 - 4b^2)$

Выражение $a^2 - 4b^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $a^2 - (2b)^2 = (a-2b)(a+2b)$.

Значит, $2a^2 - 8b^2 = 2(a-2b)(a+2b)$.

Подставим разложенные на множители выражения обратно:

$3(a+2b) \cdot \frac{a+b}{2(a-2b)(a+2b)}$

Сократим общий множитель $(a+2b)$ (при условии, что $a+2b \neq 0$):

$\frac{3(a+b)}{2(a-2b)}$

Теперь подставим значения $a=26$ и $b=-12$ в упрощенное выражение. Проверим, что сокращение было возможно: $a+2b = 26 + 2(-12) = 26 - 24 = 2 \neq 0$.

$\frac{3(26 + (-12))}{2(26 - 2(-12))} = \frac{3(26-12)}{2(26+24)} = \frac{3 \cdot 14}{2 \cdot 50} = \frac{42}{100} = 0,42$

Ответ: $0,42$.