Номер 136, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 136, страница 34.

136. Упростите выражение:

a) $\frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} : \frac{11n^3}{12m^3};$

б) $\frac{8x^3}{7y^3} : \frac{4x^4}{49y^2} : \frac{7x}{y^2}.$

а) Для упрощения выражения $ \frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} : \frac{11n^3}{12m^3} $ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Заменяем операцию деления на умножение, для этого переворачиваем дробь-делитель:
$ \frac{11m^4}{6n^2} \cdot \frac{5m}{6n^3} \cdot \frac{12m^3}{11n^3} $
2. Записываем произведение дробей как одну дробь, объединяя все числители и все знаменатели:
$ \frac{11 \cdot m^4 \cdot 5 \cdot m \cdot 12 \cdot m^3}{6 \cdot n^2 \cdot 6 \cdot n^3 \cdot 11 \cdot n^3} $
3. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные и выполним сокращение:
$ \frac{(11 \cdot 5 \cdot 12)}{(6 \cdot 6 \cdot 11)} \cdot \frac{(m^4 \cdot m \cdot m^3)}{(n^2 \cdot n^3 \cdot n^3)} = \frac{\cancel{11} \cdot 5 \cdot 12}{36 \cdot \cancel{11}} \cdot \frac{m^{4+1+3}}{n^{2+3+3}} = \frac{5 \cdot 12}{36} \cdot \frac{m^8}{n^8} $
4. Сокращаем числовую дробь:
$ \frac{60}{36} = \frac{5 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{5}{3} $
5. Объединяем полученные части:
$ \frac{5}{3} \cdot \frac{m^8}{n^8} = \frac{5m^8}{3n^8} $

Ответ: $ \frac{5m^8}{3n^8} $

б) Для упрощения выражения $ \frac{8x^3}{7y^3} \cdot \frac{4x^4}{49y^2} : \frac{7x}{y^2} $ необходимо выполнить следующие шаги:
1. Заменяем операцию деления на умножение на обратную дробь:
$ \frac{8x^3}{7y^3} \cdot \frac{4x^4}{49y^2} \cdot \frac{y^2}{7x} $
2. Объединяем все в одну дробь:
$ \frac{8x^3 \cdot 4x^4 \cdot y^2}{7y^3 \cdot 49y^2 \cdot 7x} $
3. Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:
Числитель: $ (8 \cdot 4) \cdot (x^3 \cdot x^4 \cdot y^2) = 32 \cdot x^{3+4} \cdot y^2 = 32x^7y^2 $
Знаменатель: $ (7 \cdot 49 \cdot 7) \cdot (y^3 \cdot y^2 \cdot x) = (7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^1) \cdot y^{3+2} \cdot x = 7^4 \cdot y^5 \cdot x = 2401y^5x $
4. Получаем дробь и сокращаем ее:
$ \frac{32x^7y^2}{2401y^5x} $
Сокращаем степени переменных по правилу $ \frac{a^k}{a^l} = a^{k-l} $:
$ \frac{x^7}{x} = x^{7-1} = x^6 $
$ \frac{y^2}{y^5} = \frac{1}{y^{5-2}} = \frac{1}{y^3} $
Коэффициенты $32$ и $2401$ взаимно простые. 5. Собираем конечный результат:
$ \frac{32x^6}{2401y^3} $

Ответ: $ \frac{32x^6}{2401y^3} $