Номер 141, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 141, страница 35.

141. Выполните деление:

а) $\frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2}$

б) $\frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2}$

а) $ \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} $

Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую).

$ \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} : \frac{5x + 10y}{x^2 - 2xy + y^2} = \frac{3x + 6y}{x^2 - y^2} \cdot \frac{x^2 - 2xy + y^2}{5x + 10y} $

Теперь разложим числители и знаменатели на множители, чтобы можно было выполнить сокращение. Для этого используем метод вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения:

• Числитель первой дроби: $ 3x + 6y = 3(x + 2y) $
• Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) $
• Числитель второй дроби (квадрат разности): $ x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2 $
• Знаменатель второй дроби: $ 5x + 10y = 5(x + 2y) $

Подставим полученные выражения в наше произведение:

$ \frac{3(x + 2y)}{(x - y)(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^2}{5(x + 2y)} $

Теперь сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель $(x + 2y)$ есть и вверху, и внизу. Множитель $(x - y)$ также есть и вверху (в квадрате), и внизу.

$ \frac{3\cancel{(x + 2y)}}{\cancel{(x - y)}(x + y)} \cdot \frac{(x - y)^{\cancel{2}}}{5\cancel{(x + 2y)}} = \frac{3(x - y)}{5(x + y)} $

Ответ: $ \frac{3(x-y)}{5(x+y)} $

б) $ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} : \frac{4 - a^2}{4 + b^2} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{a^2 + 4a + 4}{16 - b^4} \cdot \frac{4 + b^2}{4 - a^2} $

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулы сокращенного умножения:

• Числитель первой дроби (квадрат суммы): $ a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2 $
• Знаменатель первой дроби (разность квадратов): $ 16 - b^4 = (4)^2 - (b^2)^2 = (4 - b^2)(4 + b^2) $
• Знаменатель второй дроби (разность квадратов): $ 4 - a^2 = 2^2 - a^2 = (2 - a)(2 + a) $
• Числитель второй дроби $ 4 + b^2 $ является суммой квадратов и не раскладывается на множители в действительных числах.

Подставим разложенные на множители выражения в пример:

$ \frac{(a + 2)^2}{(4 - b^2)(4 + b^2)} \cdot \frac{4 + b^2}{(2 - a)(2 + a)} $

Сократим общие множители. Множитель $(4 + b^2)$ есть в числителе и знаменателе. Множитель $(a+2)$ есть в числителе (в квадрате) и в знаменателе (как $(2+a)$).

$ \frac{(a + 2)^{\cancel{2}}}{(4 - b^2)\cancel{(4 + b^2)}} \cdot \frac{\cancel{4 + b^2}}{(2 - a)\cancel{(a + 2)}} = \frac{a + 2}{(4 - b^2)(2 - a)} $

Ответ: $ \frac{a+2}{(4-b^2)(2-a)} $