Номер 148, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 148, страница 39.

148. Выполните действия:

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a});$

в) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b};$

г) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}.$

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Сначала выполним действия в каждой из скобок. Приведем дроби к общему знаменателю.

1. В первой скобке общий знаменатель $xy^2$:

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

2. Во второй скобке общий знаменатель $xy$:

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

3. Теперь выполним деление. Для этого умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - y^2}{xy^2} : \frac{x+y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $m^3$:

$\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am + a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $a^2$:

$\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2 + ma}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

3. Выполним деление, умножив результат первого действия на выражение, обратное результату второго действия:

$\frac{a(a+m)}{m^3} : \frac{m(m+a)}{a^2} = \frac{a(a+m)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

Сократим общий множитель $(a+m)$:

$\frac{a\cancel{(a+m)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

в) $\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.

1. Выполним деление. Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$\frac{b(a+b)}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

Сократим общие множители $3$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}2}} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

2. Теперь выполним сложение:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2} = \frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

г) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Сначала выполняем умножение.

1. Выполним умножение дробей. В числителе второй дроби вынесем общий множитель $x$:

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y} = \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$

Сократим общие множители $5y$ и $x$:

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

2. Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$