Номер 150, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 150, страница 39.

150. Упростите выражение:

a) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$;

б) $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot (\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3})$.

а)

Исходное выражение: $ \left(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}\right) : \frac{4m}{10m-5} $.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1)$.

$ \frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя, где $ a = 2m+1 $ и $ b = 2m-1 $.

$ (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1) - (2m-1))((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m $

Знаменатель можно записать как $ (2m-1)(2m+1) = 4m^2 - 1 $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{8m}{4m^2 - 1} $.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{8m}{4m^2 - 1} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m} $

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 10m-5 = 5(2m-1) $.

$ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m} $

3. Сократим общие множители. Сокращаем $ 8m $ и $ 4m $ на $ 4m $, остается $ 2 $. Сокращаем $ (2m-1) $.

$ \frac{2}{(2m+1)} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{2m+1} $

Ответ: $ \frac{10}{2m+1} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}\right) $.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$.

$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем квадраты в числителе:

$ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 $

$ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 $

Сложим их: $ (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9) $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)} $.

2. Теперь выполним умножение.

$ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)} $

3. Сократим общие множители. Сокращаем $ (x+3) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй. Сокращаем $ (x^2+9) $ в знаменателе первой дроби и числителе второй.

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{x-3} = \frac{2}{x-3} $

Ответ: $ \frac{2}{x-3} $