Номер 152, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 152, страница 40.

152. Выполните действия:

a) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}; $

б) $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}; $

В) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2}; $

Г) $ \frac{a^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{a^2 - 2a}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3}. $

а) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} $

1. Сначала выполним умножение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $ (разность квадратов)

$ a^2 + 5a = a(a + 5) $ (вынесение общего множителя)

Подставим в первую часть выражения:

$ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} $

Сократим общий множитель $(a + 5)$:

$ \frac{a - 5}{a(a + 3)} $

2. Теперь выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби на множители:

$ a^2 - 3a = a(a - 3) $

Выражение принимает вид:

$ \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + 3)(a - 3)$:

$ \frac{(a - 5)(a - 3)}{a(a + 3)(a - 3)} - \frac{(a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} = \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a^2 - 9)} $

4. Упростим числитель:

$ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2 - 9)} = \frac{-16a}{a(a^2 - 9)} $

5. Сократим дробь на $a$:

$ \frac{-16}{a^2 - 9} $

Ответ: $ -\frac{16}{a^2 - 9} $.

б) $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2} $

1. Сначала выполним деление. Разложим выражения на множители:

$ x^2 + 3x = x(x + 3) $

$ 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) $ (разность квадратов)

$ 4x + 2 = 2(2x + 1) $

2. Перепишем деление как умножение на обратную дробь:

$ \frac{x(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{2(2x + 1)}{x + 3} $

Сократим общие множители $(x + 3)$ и $(2x + 1)$:

$ \frac{2x}{2x - 1} $

3. Теперь выполним сложение:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} $

Заметим, что $1 - 2x = -(2x - 1)$. Перепишем первую дробь:

$ -\frac{2x - 1}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} = \frac{2x}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1$:

$ \frac{2x(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} - \frac{(2x - 1)(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \frac{2x(2x + 1) - (2x - 1)^2}{4x^2 - 1} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{(4x^2 + 2x) - (4x^2 - 4x + 1)}{4x^2 - 1} = \frac{4x^2 + 2x - 4x^2 + 4x - 1}{4x^2 - 1} = \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $

Ответ: $ \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $.

в) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} $

1. Сначала выполним умножение. Разложим выражения на множители:

$ ab - b^2 = b(a - b) $

$ a^2 - ac = a(a - c) $

$ a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) $ (разность квадратов)

$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ (разность квадратов)

2. Перепишем умножение с разложенными множителями:

$ \frac{b(a - b)}{a(a - c)} \cdot \frac{(a - c)(a + c)}{(a - b)(a + b)} $

Сократим общие множители $(a - b)$ и $(a - c)$:

$ \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $

3. Теперь выполним вычитание:

$ \frac{b - c}{a + b} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + b)$:

$ \frac{a(b - c)}{a(a + b)} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} = \frac{a(b - c) - b(a + c)}{a(a + b)} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{ab - ac - ab - bc}{a(a + b)} = \frac{-ac - bc}{a(a + b)} $

Вынесем общий множитель $-c$ в числителе:

$ \frac{-c(a + b)}{a(a + b)} $

6. Сократим дробь на $(a + b)$:

$ -\frac{c}{a} $

Ответ: $ -\frac{c}{a} $.

г) $ \frac{a^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{a^2 - 2a}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3} $

1. Сначала выполним деление. Разложим выражения на множители:

$ a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) $

$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $

$ a^2 - 2a = a(a - 2) $

$ xy + 3y = y(x + 3) $

2. Перепишем деление как умножение на обратную дробь:

$ \frac{(a - 2)(a + 2)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{y(x + 3)}{a(a - 2)} $

Сократим общие множители $(a - 2)$ и $(x + 3)$:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} $

3. Теперь выполним сложение:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} + \frac{2 - y}{x - 3} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a(x - 3)$:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} + \frac{a(2 - y)}{a(x - 3)} = \frac{y(a + 2) + a(2 - y)}{a(x - 3)} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{ay + 2y + 2a - ay}{a(x - 3)} = \frac{2y + 2a}{a(x - 3)} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a + y)}{a(x - 3)} $

Ответ: $ \frac{2(a + y)}{a(x - 3)} $.