Номер 157, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 157, страница 41.

157. При каком значении $a$ выражение

$(0,5(a - 1))^2 - 18\left(\frac{a + 5}{a - 7} + \frac{a - 7}{a + 5}\right)$

принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения, сперва упростим его. Обозначим данное выражение как $E$.

$E = (0,5(a - 1)^2 - 18) \left( \frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} \right)$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю: $a-7 \neq 0$ и $a+5 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 7$ и $a \neq -5$.

Упростим каждый из двух множителей по отдельности.

Первый множитель:

$0,5(a - 1)^2 - 18 = 0,5(a^2 - 2a + 1) - 18 = 0,5a^2 - a + 0,5 - 18 = 0,5a^2 - a - 17,5$

Вынесем коэффициент $0,5$ за скобки:

$0,5(a^2 - 2a - 35)$

Второй множитель (сумма дробей):

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+5)$:

$\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} = \frac{(a+5)^2 + (a-7)^2}{(a-7)(a+5)} = \frac{(a^2+10a+25) + (a^2-14a+49)}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2a^2 - 4a + 74}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$

Перемножение упрощенных множителей:

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение $E$:

$E = \left(0,5(a^2 - 2a - 35)\right) \cdot \left(\frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}\right)$

При $a$, входящем в ОДЗ, выражение $a^2 - 2a - 35 \neq 0$, поэтому мы можем его сократить:

$E = 0,5 \cdot 2 \cdot (a^2 - 2a + 37) = a^2 - 2a + 37$

В результате упрощения мы получили квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 2a + 37$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Для нахождения координат вершины выделим полный квадрат:

$f(a) = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 37 = (a-1)^2 + 36$

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$). Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $a-1=0$.

При каком значении $a$ выражение принимает наименьшее значение?

Наименьшее значение выражения достигается при условии $(a-1)^2 = 0$, что соответствует $a=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq 7$ и $1 \neq -5$).

Ответ: $1$.

Найдите это значение.

При $a=1$ наименьшее значение выражения составляет: $f(1) = (1-1)^2 + 36 = 0 + 36 = 36$.

Ответ: $36$.