Номер 151, страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 151, страница 39.

151. Выполните действия:

а) $\frac{a^2-9}{2a^2+1} \cdot \left(\frac{6a+1}{a-3} + \frac{6a-1}{a+3}\right)$;

б) $\left(\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}\right) : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}$.

а)

Чтобы решить данный пример, сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей исходных дробей: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$.

$ \frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} = \frac{(6a + 1)(a + 3) + (6a - 1)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(6a^2 + 18a + a + 3) + (6a^2 - 18a - a + 3)}{a^2 - 9} = \frac{6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3}{a^2 - 9} = \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9} $

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение и выполним умножение:

$ \frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9} $

Сократим общий множитель $(a^2 - 9)$:

$ \frac{12a^2 + 6}{2a^2 + 1} $

В числителе вынесем за скобки общий множитель 6:

$ \frac{6(2a^2 + 1)}{2a^2 + 1} $

Сократим общий множитель $(2a^2 + 1)$ и получим конечный результат:

$ 6 $

Ответ: $6$.

б)

Аналогично предыдущему примеру, начнем с выполнения действия в скобках. Общий знаменатель для дробей равен $(x - 5y)(x + 5y) = x^2 - (5y)^2 = x^2 - 25y^2$.

$ \frac{5x + y}{x - 5y} + \frac{5x - y}{x + 5y} = \frac{(5x + y)(x + 5y) + (5x - y)(x - 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(5x^2 + 25xy + xy + 5y^2) + (5x^2 - 25xy - xy + 5y^2)}{x^2 - 25y^2} = \frac{5x^2 + 26xy + 5y^2 + 5x^2 - 26xy + 5y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 - 25y^2} $

Вынесем в числителе общий множитель 10 за скобки:

$ \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} \cdot \frac{x^2 - 25y^2}{x^2 + y^2} $

Сократим общие множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^2 - 25y^2)$ в числителе и знаменателе:

$ 10 $

Ответ: $10$.