Номер 158, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 158, страница 41.

158. При каком значении b выражение $ \frac{81}{(0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2} $ принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Данное выражение представляет собой дробь, числитель которой — постоянное положительное число 81. Чтобы значение всей дроби было наибольшим, ее знаменатель должен быть наименьшим возможным и при этом положительным.

Обозначим знаменатель как $Z(b) = (0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2$ и упростим его.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ и квадратом разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

$Z(b) = ((0,5b)^2 + 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2) + ((0,5b)^2 - 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2)$

$Z(b) = (0,25b^2 + 9b + 81) + (0,25b^2 - 9b + 81)$

Приведем подобные слагаемые:

$Z(b) = 0,25b^2 + 0,25b^2 + 9b - 9b + 81 + 81 = 0,5b^2 + 162$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $\frac{81}{0,5b^2 + 162}$.

При каком значении b выражение принимает наибольшее значение?

Найдем, при каком значении $b$ знаменатель $0,5b^2 + 162$ принимает наименьшее значение.

Выражение $b^2$ всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $b=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя будет: $0,5 \cdot 0^2 + 162 = 162$.

Это наименьшее значение достигается при $b=0$.

Ответ: при $b=0$.

Найдите это значение.

Теперь, когда мы знаем, что наименьшее значение знаменателя равно 162, мы можем найти наибольшее значение всего выражения, подставив это значение в дробь.

Наибольшее значение = $\frac{81}{162}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{81}{162} = \frac{81}{2 \cdot 81} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5.