Страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

157. При каком значении $a$ выражение

$(0,5(a - 1))^2 - 18\left(\frac{a + 5}{a - 7} + \frac{a - 7}{a + 5}\right)$

принимает наименьшее значение? Найдите это значение.

Для того чтобы найти наименьшее значение выражения, сперва упростим его. Обозначим данное выражение как $E$.

$E = (0,5(a - 1)^2 - 18) \left( \frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} \right)$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $a$ определяется условиями, что знаменатели дробей не равны нулю: $a-7 \neq 0$ и $a+5 \neq 0$. Следовательно, $a \neq 7$ и $a \neq -5$.

Упростим каждый из двух множителей по отдельности.

Первый множитель:

$0,5(a - 1)^2 - 18 = 0,5(a^2 - 2a + 1) - 18 = 0,5a^2 - a + 0,5 - 18 = 0,5a^2 - a - 17,5$

Вынесем коэффициент $0,5$ за скобки:

$0,5(a^2 - 2a - 35)$

Второй множитель (сумма дробей):

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-7)(a+5)$:

$\frac{a+5}{a-7} + \frac{a-7}{a+5} = \frac{(a+5)^2 + (a-7)^2}{(a-7)(a+5)} = \frac{(a^2+10a+25) + (a^2-14a+49)}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2a^2 - 4a + 74}{a^2 - 2a - 35} = \frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}$

Перемножение упрощенных множителей:

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение $E$:

$E = \left(0,5(a^2 - 2a - 35)\right) \cdot \left(\frac{2(a^2 - 2a + 37)}{a^2 - 2a - 35}\right)$

При $a$, входящем в ОДЗ, выражение $a^2 - 2a - 35 \neq 0$, поэтому мы можем его сократить:

$E = 0,5 \cdot 2 \cdot (a^2 - 2a + 37) = a^2 - 2a + 37$

В результате упрощения мы получили квадратичную функцию $f(a) = a^2 - 2a + 37$. Графиком этой функции является парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $a^2$ положителен ($1 > 0$). Наименьшее значение такая функция принимает в своей вершине. Для нахождения координат вершины выделим полный квадрат:

$f(a) = (a^2 - 2a + 1) - 1 + 37 = (a-1)^2 + 36$

Выражение $(a-1)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $\ge 0$). Его наименьшее значение равно $0$ и достигается при $a-1=0$.

При каком значении $a$ выражение принимает наименьшее значение?

Наименьшее значение выражения достигается при условии $(a-1)^2 = 0$, что соответствует $a=1$. Это значение удовлетворяет ОДЗ ($1 \neq 7$ и $1 \neq -5$).

Ответ: $1$.

Найдите это значение.

При $a=1$ наименьшее значение выражения составляет: $f(1) = (1-1)^2 + 36 = 0 + 36 = 36$.

Ответ: $36$.

159. Докажите тождество:

a) $ \frac{2p-q}{pq} - \frac{1}{p+q} \cdot \left(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}\right) = \frac{1}{q} $;

б) $ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2-ab}{a^2-b^2} $.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $pq$.

$ \frac{p}{q} - \frac{q}{p} = \frac{p^2}{pq} - \frac{q^2}{pq} = \frac{p^2 - q^2}{pq} $

Теперь подставим это в исходное выражение:

$ \frac{2p - q}{pq} - \frac{1}{p+q} \cdot \frac{p^2 - q^2}{pq} $

Разложим числитель $p^2 - q^2$ по формуле разности квадратов: $p^2 - q^2 = (p-q)(p+q)$.

$ \frac{2p - q}{pq} - \frac{1}{p+q} \cdot \frac{(p-q)(p+q)}{pq} $

Сократим множитель $(p+q)$ во втором слагаемом (при условии $p+q \neq 0$):

$ \frac{2p - q}{pq} - \frac{p-q}{pq} $

Так как знаменатели дробей одинаковы, выполним вычитание числителей:

$ \frac{(2p - q) - (p-q)}{pq} = \frac{2p - q - p + q}{pq} = \frac{p}{pq} $

Сократим дробь на $p$ (при условии $p \neq 0$):

$ \frac{p}{pq} = \frac{1}{q} $

Левая часть тождества равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую и правую части по отдельности и покажем, что они равны одному и тому же выражению.

Сначала преобразуем левую часть. Приведем дроби к общему знаменателю $2(a-b)(a+b)$:

$ \frac{a+b}{2(a-b)} - \frac{a-b}{2(a+b)} = \frac{(a+b)(a+b)}{2(a-b)(a+b)} - \frac{(a-b)(a-b)}{2(a+b)(a-b)} = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} $

В числителе применим формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. В знаменателе применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

$ \frac{(a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)}{2(a^2-b^2)} = \frac{a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2}{2(a^2-b^2)} = \frac{4ab}{2(a^2-b^2)} = \frac{2ab}{a^2-b^2} $

Итак, левая часть равна $ \frac{2ab}{a^2-b^2} $.

Теперь преобразуем правую часть. Разложим знаменатель второй дроби на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$ \frac{b}{a-b} - \frac{b^2 - ab}{a^2 - b^2} = \frac{b}{a-b} - \frac{b^2 - ab}{(a-b)(a+b)} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$:

$ \frac{b(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b^2 - ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{b(a+b) - (b^2 - ab)}{a^2 - b^2} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{ab + b^2 - b^2 + ab}{a^2 - b^2} = \frac{2ab}{a^2 - b^2} $

Итак, правая часть также равна $ \frac{2ab}{a^2 - b^2} $.

Поскольку левая и правая части тождества равны одному и тому же выражению, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

161. Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

a) $\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \left(\frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}\right)$;

б) $\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)$.

Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, необходимо упростить его. Если в результате упрощения получится число, то утверждение доказано.

Область допустимых значений (ОДЗ) для каждого выражения определяется условием, что знаменатели дробей не должны быть равны нулю.

а) $ \left( \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} \right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a} $

ОДЗ: $ a^2 - b^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq b $ и $ a \neq -b $; $ 2a + 2b \neq 0 \Rightarrow a \neq -b $; $ a+b \neq 0 \Rightarrow a \neq -b $; $ b-a \neq 0 \Rightarrow a \neq b $. Таким образом, $ a \neq \pm b $.

1. Упростим выражение в первых скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} $

Общий знаменатель $ 2(a - b)(a + b) $.

$ \frac{2ab \cdot 2}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a-b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} $

Свернем числитель по формуле квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $:

$ \frac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)} = \frac{a+b}{2(a-b)} $

2. Теперь выполним умножение:

$ \frac{a+b}{2(a-b)} \cdot \frac{2a}{a+b} = \frac{(a+b) \cdot 2a}{2(a-b) \cdot (a+b)} = \frac{a}{a-b} $

3. Выполним последнее действие — сложение. Заметим, что $ b - a = -(a - b) $.

$ \frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1 $

Значение выражения равно 1 при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: 1.

б) $ \frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left( \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} \right) $

ОДЗ: $ x - y \neq 0 \Rightarrow x \neq y $; $ x^2 + y^2 \neq 0 $ (выполняется для всех действительных x, y, кроме $x=y=0$, что уже исключено); $ (x-y)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq y $; $ x^2-y^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm y $. Таким образом, $ x \neq \pm y $.

Согласно порядку действий, сначала выполняем действие в скобках, затем умножение, и в конце вычитание.

1. Упростим выражение в скобках:

$ \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2} = \frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)} $

Приведем к общему знаменателю $ (x-y)^2(x+y) $:

$ \frac{x(x+y) - y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2 + xy - yx + y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} $

2. Выполним умножение. Предварительно разложим на множители числитель первой дроби: $ x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x-y)(x+y) $.

$ \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} = \frac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2} \cdot \frac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)} $

Сократим одинаковые множители в числителях и знаменателях ($ x^2+y^2 $, $ x+y $ и одну скобку $ x-y $):

$ \frac{x \cdot (1) \cdot (1)}{1} \cdot \frac{1}{(x-y) \cdot (1)} = \frac{x}{x-y} $

3. Выполним вычитание:

$ \frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} = \frac{y - x}{x - y} $

Вынесем в числителе -1 за скобки: $ y - x = -(x - y) $.

$ \frac{-(x - y)}{x - y} = -1 $

Значение выражения равно -1 при всех допустимых значениях переменных, что и требовалось доказать.

Ответ: -1.

163. Представьте в виде многочлена или рациональной дроби:

а) $(n + \frac{1}{n})^2$;

б) $(\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2$;

В) $(\frac{x}{y} + 1)^2 + (\frac{x}{y} - 1)^2$;

Г) $(\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 - (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2$.

а)

Для преобразования выражения $ (n + \frac{1}{n})^2 $ используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

В данном случае $ a = n $ и $ b = \frac{1}{n} $.

Подставляем в формулу:

$ (n + \frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} + (\frac{1}{n})^2 = n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} $.

Чтобы представить полученное выражение в виде рациональной дроби, приведем слагаемые к общему знаменателю $ n^2 $:

$ n^2 + 2 + \frac{1}{n^2} = \frac{n^2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{2 \cdot n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2} = \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $.

Ответ: $ \frac{n^4 + 2n^2 + 1}{n^2} $

б)

Для преобразования выражения $ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 $ используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

Здесь $ x = \frac{a}{b} $ и $ y = \frac{b}{a} $.

Подставляем в формулу:

$ (\frac{a}{b} - \frac{b}{a})^2 = (\frac{a}{b})^2 - 2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} + (\frac{b}{a})^2 = \frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2} $.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю $ a^2b^2 $, чтобы представить его в виде рациональной дроби:

$ \frac{a^2}{b^2} - 2 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2 \cdot a^2}{b^2 \cdot a^2} - \frac{2 \cdot a^2b^2}{a^2b^2} + \frac{b^2 \cdot b^2}{a^2 \cdot b^2} = \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $.

Ответ: $ \frac{a^4 - 2a^2b^2 + b^4}{a^2b^2} $

в)

Раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Первое слагаемое (квадрат суммы):

$ (\frac{x}{y} + 1)^2 = (\frac{x}{y})^2 + 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1^2 = \frac{x^2}{y^2} + \frac{2x}{y} + 1 $.

Второе слагаемое (квадрат разности):

$ (\frac{x}{y} - 1)^2 = (\frac{x}{y})^2 - 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot 1 + 1^2 = \frac{x^2}{y^2} - \frac{2x}{y} + 1 $.

Теперь сложим полученные выражения:

$ (\frac{x^2}{y^2} + \frac{2x}{y} + 1) + (\frac{x^2}{y^2} - \frac{2x}{y} + 1) = \frac{x^2}{y^2} + \frac{2x}{y} + 1 + \frac{x^2}{y^2} - \frac{2x}{y} + 1 $.

Приводим подобные слагаемые (слагаемые $ \frac{2x}{y} $ и $ -\frac{2x}{y} $ взаимно уничтожаются):

$ (\frac{x^2}{y^2} + \frac{x^2}{y^2}) + (1 + 1) = 2\frac{x^2}{y^2} + 2 $.

Представим результат в виде рациональной дроби с общим знаменателем $ y^2 $:

$ \frac{2x^2}{y^2} + \frac{2y^2}{y^2} = \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $.

Ответ: $ \frac{2x^2 + 2y^2}{y^2} $

г)

Раскроем каждую скобку, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности.

Уменьшаемое (квадрат суммы):

$ (\frac{p}{q} + \frac{q}{p})^2 = (\frac{p}{q})^2 + 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + (\frac{q}{p})^2 = \frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2} $.

Вычитаемое (квадрат разности):

$ (\frac{p}{q} - \frac{q}{p})^2 = (\frac{p}{q})^2 - 2 \cdot \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} + (\frac{q}{p})^2 = \frac{p^2}{q^2} - 2 + \frac{q^2}{p^2} $.

Теперь выполним вычитание:

$ (\frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2}) - (\frac{p^2}{q^2} - 2 + \frac{q^2}{p^2}) = \frac{p^2}{q^2} + 2 + \frac{q^2}{p^2} - \frac{p^2}{q^2} + 2 - \frac{q^2}{p^2} $.

Приводим подобные слагаемые. Пары слагаемых $ \frac{p^2}{q^2} $ и $ -\frac{p^2}{q^2} $, а также $ \frac{q^2}{p^2} $ и $ -\frac{q^2}{p^2} $ взаимно уничтожаются.

$ 2 + 2 = 4 $.

Результатом является многочлен (в данном случае, число).

Ответ: $ 4 $

158. При каком значении b выражение $ \frac{81}{(0.5b + 9)^2 + (0.5b - 9)^2} $ принимает наибольшее значение? Найдите это значение.

Данное выражение представляет собой дробь, числитель которой — постоянное положительное число 81. Чтобы значение всей дроби было наибольшим, ее знаменатель должен быть наименьшим возможным и при этом положительным.

Обозначим знаменатель как $Z(b) = (0,5b + 9)^2 + (0,5b - 9)^2$ и упростим его.

Воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$ и квадратом разности $(a-c)^2 = a^2 - 2ac + c^2$.

$Z(b) = ((0,5b)^2 + 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2) + ((0,5b)^2 - 2 \cdot 0,5b \cdot 9 + 9^2)$

$Z(b) = (0,25b^2 + 9b + 81) + (0,25b^2 - 9b + 81)$

Приведем подобные слагаемые:

$Z(b) = 0,25b^2 + 0,25b^2 + 9b - 9b + 81 + 81 = 0,5b^2 + 162$

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде: $\frac{81}{0,5b^2 + 162}$.

При каком значении b выражение принимает наибольшее значение?

Найдем, при каком значении $b$ знаменатель $0,5b^2 + 162$ принимает наименьшее значение.

Выражение $b^2$ всегда неотрицательно, то есть $b^2 \ge 0$. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $b=0$.

Следовательно, наименьшее значение знаменателя будет: $0,5 \cdot 0^2 + 162 = 162$.

Это наименьшее значение достигается при $b=0$.

Ответ: при $b=0$.

Найдите это значение.

Теперь, когда мы знаем, что наименьшее значение знаменателя равно 162, мы можем найти наибольшее значение всего выражения, подставив это значение в дробь.

Наибольшее значение = $\frac{81}{162}$.

Сократим полученную дробь:

$\frac{81}{162} = \frac{81}{2 \cdot 81} = \frac{1}{2} = 0,5$.

Ответ: 0,5.

160. Докажите тождество:

a) $ \frac{1,2x^2 - xy}{0,36x^2 - 0,25y^2} = \frac{20x}{6x + 5y} $

б) $ \frac{4,5a + 4x}{0,81a^2 - 0,64x^2} = \frac{50}{9a - 8x} $

а) Для доказательства тождества преобразуем его левую часть.
Рассмотрим левую часть равенства: $\frac{1.2x^2 - xy}{0.36x^2 - 0.25y^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.
В числителе вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$1.2x^2 - xy = x(1.2x - y)$.
Знаменатель представляет собой разность квадратов по формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 0.6x$ и $B = 0.5y$:
$0.36x^2 - 0.25y^2 = (0.6x)^2 - (0.5y)^2 = (0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)$.
Подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{x(1.2x - y)}{(0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)}$.
В числителе вынесем множитель 2 из выражения в скобках, чтобы получить общий множитель со знаменателем:
$1.2x - y = 2(0.6x - 0.5y)$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{x \cdot 2(0.6x - 0.5y)}{(0.6x - 0.5y)(0.6x + 0.5y)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(0.6x - 0.5y)$ (при условии, что $0.6x - 0.5y \neq 0$):
$\frac{2x}{0.6x + 0.5y}$.
Чтобы привести полученное выражение к виду правой части тождества, умножим числитель и знаменатель на 10:
$\frac{2x \cdot 10}{(0.6x + 0.5y) \cdot 10} = \frac{20x}{6x + 5y}$.
Мы получили выражение, которое в точности совпадает с правой частью исходного равенства. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

б) Аналогично докажем второе тождество, преобразовав его левую часть.
Рассмотрим левую часть равенства: $\frac{4.5a + 4x}{0.81a^2 - 0.64x^2}$.
Разложим на множители числитель и знаменатель.
Знаменатель является разностью квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A = 0.9a$ и $B = 0.8x$:
$0.81a^2 - 0.64x^2 = (0.9a)^2 - (0.8x)^2 = (0.9a - 0.8x)(0.9a + 0.8x)$.
В числителе вынесем за скобки общий множитель 5:
$4.5a + 4x = 5(0.9a + 0.8x)$.
Подставим разложенные выражения в дробь:
$\frac{5(0.9a + 0.8x)}{(0.9a - 0.8x)(0.9a + 0.8x)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(0.9a + 0.8x)$ (при условии, что $0.9a + 0.8x \neq 0$):
$\frac{5}{0.9a - 0.8x}$.
Умножим числитель и знаменатель на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей и привести выражение к виду правой части:
$\frac{5 \cdot 10}{(0.9a - 0.8x) \cdot 10} = \frac{50}{9a - 8x}$.
Левая часть тождества после преобразований стала равна правой. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

162. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3})$ является натуральным числом.

Чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $\left(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}\right) : \left(\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}\right)$.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое).

Приведем дроби к общему знаменателю $3n^2$:

$\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} = \frac{9 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} + \frac{n \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{27}{3n^2} + \frac{n^3}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель).

Приведем дроби к общему знаменателю $3n^2$:

$\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 3n}{n \cdot 3n} + \frac{1 \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2}$

3. Выполним деление.

Разделить одну дробь на другую — это то же самое, что умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2}$

Сократим общий множитель $3n^2$ (это возможно, так как по условию $n$ — натуральное число, следовательно $n \ge 1$ и $3n^2 \neq 0$):

$\frac{27 + n^3}{9 - 3n + n^2}$

4. Упростим полученное выражение.

Заметим, что числитель $27 + n^3$ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a=3$ и $b=n$:

$27 + n^3 = 3^3 + n^3 = (3+n)(3^2 - 3n + n^2) = (n+3)(9 - 3n + n^2)$

Подставим разложенный числитель обратно в выражение:

$\frac{(n+3)(9 - 3n + n^2)}{9 - 3n + n^2}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $(9 - 3n + n^2)$. Этот множитель не равен нулю ни при каком значении $n$.

В результате упрощения получаем:

$n+3$

По условию задачи, $n$ — любое натуральное число. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Если к любому натуральному числу $n$ прибавить натуральное число $3$, то в результате всегда получится натуральное число, которое будет больше или равно $4$.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения при любом натуральном $n$ является натуральным числом.

Ответ: В результате преобразований исходное выражение равно $n+3$. Так как $n$ — натуральное число, то сумма $n+3$ также всегда является натуральным числом.

164. Упростите выражение:

a) $ \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}} $;

б) $ \frac{\frac{2a - b}{b} + 1}{\frac{2a + b}{b} - 1} $;

В) $ \frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}} $;

Г) $ \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}} $.

а) Для упрощения выражения $\frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ необходимо преобразовать числитель и знаменатель этой "многоэтажной" дроби. Приведем выражения в числителе и знаменателе к общему знаменателю $x$.
Преобразуем числитель: $1 - \frac{1}{x} = \frac{x}{x} - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}$.
Преобразуем знаменатель: $1 + \frac{1}{x} = \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = \frac{x+1}{x}$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде деления двух дробей:
$\frac{\frac{x-1}{x}}{\frac{x+1}{x}} = \frac{x-1}{x} \cdot \frac{x}{x+1}$.
Сокращаем дробь на $x$ (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -1$) и получаем конечный результат.
$\frac{x-1}{\cancel{x}} \cdot \frac{\cancel{x}}{x+1} = \frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: $\frac{x-1}{x+1}$

б) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{2a-b}{b} + 1}{\frac{2a+b}{b} - 1}$. Упростим отдельно числитель и знаменатель, приведя слагаемые к общему знаменателю $b$.
Упростим числитель: $\frac{2a-b}{b} + 1 = \frac{2a-b}{b} + \frac{b}{b} = \frac{2a-b+b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Упростим знаменатель: $\frac{2a+b}{b} - 1 = \frac{2a+b}{b} - \frac{b}{b} = \frac{2a+b-b}{b} = \frac{2a}{b}$.
Теперь разделим полученный числитель на знаменатель:
$\frac{\frac{2a}{b}}{\frac{2a}{b}} = 1$.
Это равенство верно при условии, что знаменатель не равен нулю, то есть $\frac{2a}{b} \neq 0$, что означает $a \neq 0$ и $b \neq 0$.
Ответ: $1$

в) Упростим выражение $\frac{\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2}}{\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2}}$. Сначала приведем к общему знаменателю дроби в числителе и знаменателе основной дроби. Общий знаменатель для них - $x^2y^2$.
Преобразуем числитель: $\frac{x}{y^2} + \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} + \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{x}{y^2} - \frac{y}{x^2} = \frac{x \cdot x^2}{y^2 \cdot x^2} - \frac{y \cdot y^2}{x^2 \cdot y^2} = \frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}$.
Теперь выполним деление полученных выражений:
$\frac{\frac{x^3 + y^3}{x^2y^2}}{\frac{x^3 - y^3}{x^2y^2}} = \frac{x^3 + y^3}{x^2y^2} \cdot \frac{x^2y^2}{x^3 - y^3}$.
Сократив на $x^2y^2$ (при $x \neq 0$, $y \neq 0$), получим: $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$.
Ответ: $\frac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}$

г) Рассмотрим выражение $\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac}}$. Приведем к общему знаменателю выражения в числителе и знаменателе основной дроби. В обоих случаях наименьший общий знаменатель - это $abc$.
Преобразуем числитель: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc}{abc} + \frac{ac}{abc} + \frac{ab}{abc} = \frac{ab+ac+bc}{abc}$.
Преобразуем знаменатель: $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ac} = \frac{c}{abc} + \frac{a}{abc} + \frac{b}{abc} = \frac{a+b+c}{abc}$.
Выполним деление:
$\frac{\frac{ab+ac+bc}{abc}}{\frac{a+b+c}{abc}} = \frac{ab+ac+bc}{abc} \cdot \frac{abc}{a+b+c}$.
Сократив на $abc$ (при $a,b,c \neq 0$ и $a+b+c \neq 0$), получим: $\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$.
Ответ: $\frac{ab+ac+bc}{a+b+c}$