Страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

153. Упростите выражение:

a) $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right);$

б) $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1;$

в) $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right);$

г) $(y^2 - 4) \left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5.$

а) Для упрощения выражения $(a^2 + 2a + 1) \cdot \left(\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1}\right)$ выполним действия по шагам.
1. Заметим, что первый множитель $a^2 + 2a + 1$ является полным квадратом: $a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
2. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель $a^2-1$ можно разложить по формуле разности квадратов: $a^2-1 = (a-1)(a+1)$. Это и будет общий знаменатель.
$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{a^2-1} - \frac{1}{a-1} = \frac{1 \cdot (a-1)}{(a+1)(a-1)} + \frac{1}{(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a-1+1-(a+1)}{a^2-1} = \frac{a-1+1-a-1}{a^2-1} = \frac{-1}{a^2-1}$.
3. Теперь перемножим результаты первого и второго шагов:
$(a+1)^2 \cdot \left(\frac{-1}{a^2-1}\right) = (a+1)^2 \cdot \frac{-1}{(a-1)(a+1)}$.
Сократим дробь на $(a+1)$:
$\frac{(a+1) \cdot (-1)}{a-1} = \frac{-(a+1)}{a-1} = \frac{a+1}{-(a-1)} = \frac{a+1}{1-a}$.
Ответ: $\frac{a+1}{1-a}$.

б) Для упрощения выражения $\left(1 - \frac{9x^2+4}{12x}\right) : \left(\frac{1}{3x} - \frac{1}{2}\right) + 1$ выполним действия по порядку.
1. Выполним вычитание в первых скобках:
$1 - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x}{12x} - \frac{9x^2+4}{12x} = \frac{12x - (9x^2+4)}{12x} = \frac{12x - 9x^2 - 4}{12x} = \frac{-(9x^2 - 12x + 4)}{12x}$.
Выражение в числителе является полным квадратом: $9x^2 - 12x + 4 = (3x-2)^2$.
Получаем: $\frac{-(3x-2)^2}{12x}$.
2. Выполним вычитание во вторых скобках, приведя дроби к общему знаменателю $6x$:
$\frac{1}{3x} - \frac{1}{2} = \frac{2}{6x} - \frac{3x}{6x} = \frac{2-3x}{6x}$.
3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Заметим, что $2-3x = -(3x-2)$.
$\frac{-(3x-2)^2}{12x} : \frac{2-3x}{6x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{2-3x} = \frac{-(3x-2)^2}{12x} \cdot \frac{6x}{-(3x-2)}$.
Сокращаем числитель и знаменатель на $-(3x-2)$ и $6x$:
$\frac{(3x-2)}{2}$.
4. Добавим 1 к результату:
$\frac{3x-2}{2} + 1 = \frac{3x-2}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3x-2+2}{2} = \frac{3x}{2}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.

в) Для упрощения выражения $1 - \left(\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2}\right) \cdot \left(a - \frac{3a+2}{4}\right)$ решим по действиям.
1. Упростим выражение в первых скобках. Общий знаменатель $(a-2)(a+2) = a^2-4$:
$\frac{2}{a-2} - \frac{2}{a+2} = \frac{2(a+2) - 2(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4 - (2a-4)}{a^2-4} = \frac{2a+4-2a+4}{a^2-4} = \frac{8}{a^2-4}$.
2. Упростим выражение во вторых скобках:
$a - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a}{4} - \frac{3a+2}{4} = \frac{4a-(3a+2)}{4} = \frac{4a-3a-2}{4} = \frac{a-2}{4}$.
3. Выполним умножение результатов первых двух шагов:
$\frac{8}{a^2-4} \cdot \frac{a-2}{4} = \frac{8}{(a-2)(a+2)} \cdot \frac{a-2}{4}$.
Сокращаем дробь на $(a-2)$ и на 4:
$\frac{2}{a+2}$.
4. Выполним вычитание:
$1 - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2}{a+2} - \frac{2}{a+2} = \frac{a+2-2}{a+2} = \frac{a}{a+2}$.
Ответ: $\frac{a}{a+2}$.

г) Для упрощения выражения $(y^2 - 4)\left(\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2}\right) + 5$ решим по действиям.
1. Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(y+2)(y-2) = y^2-4$:
$\frac{3}{y+2} - \frac{2}{y-2} = \frac{3(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{2(y+2)}{(y+2)(y-2)} = \frac{3y-6-(2y+4)}{y^2-4} = \frac{3y-6-2y-4}{y^2-4} = \frac{y-10}{y^2-4}$.
2. Теперь выполним умножение:
$(y^2-4) \cdot \frac{y-10}{y^2-4}$.
Сократим множитель $(y^2-4)$ и знаменатель дроби:
$y-10$.
3. Наконец, выполним сложение:
$(y-10) + 5 = y-5$.
Ответ: $y-5$.

155. Упростите выражение:

a) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right);$

б) $\left( \frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} \right) : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}.$

a)

Упростим выражение по действиям.
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
Теперь выполним сложение:
$\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(y+x)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-x)(y+x)^2$:
$\frac{1 \cdot (y+x)}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{1 \cdot (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$
2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
$\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$
Сократим общие множители $(y-x)$, $(y+x)$ и $2y$.
$\frac{4xy \cdot (y-x)(y+x)^2}{(y-x)(y+x) \cdot 2y} = \frac{2x \cdot (y+x)}{1} = 2x(y+x)$
Поскольку $y+x=x+y$, окончательный вид выражения:
$2x(x+y)$
Ответ: $2x(x+y)$.

б)

Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок.
1. Сначала выполним деление в скобках. Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и учитывая, что $(2y-x)^2 = (-(x-2y))^2 = (x-2y)^2$.
$x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y)$
$\frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} = \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)^2} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$
2. Теперь выполним вычитание в скобках. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $x^2+2xy = x(x+2y)$.
$\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} = \frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2y)^2$:
$\frac{(x-2y)(x+2y)}{x(x+2y)^2} - \frac{x(x-2y)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y)(x+2y) - x(x-2y)}{x(x+2y)^2}$
Вынесем в числителе общий множитель $(x-2y)$ за скобку:
$\frac{(x-2y)((x+2y)-x)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y)(x+2y-x)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y) \cdot 2y}{x(x+2y)^2}$
3. Наконец, выполним умножение полученного выражения на последнюю дробь.
$\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$
Сократим общие множители $(x+2y)^2$ и $2y$:
$\frac{2y(x-2y)(x+2y)^2}{x(x+2y)^2 \cdot 4y^2} = \frac{x-2y}{x \cdot 2y} = \frac{x-2y}{2xy}$
Ответ: $\frac{x-2y}{2xy}$.

152. Выполните действия:

a) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a}; $

б) $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2}; $

В) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2}; $

Г) $ \frac{a^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{a^2 - 2a}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3}. $

а) $ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} - \frac{a + 5}{a^2 - 3a} $

1. Сначала выполним умножение. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$ a^2 - 25 = (a - 5)(a + 5) $ (разность квадратов)

$ a^2 + 5a = a(a + 5) $ (вынесение общего множителя)

Подставим в первую часть выражения:

$ \frac{a^2 - 25}{a + 3} \cdot \frac{1}{a^2 + 5a} = \frac{(a - 5)(a + 5)}{a + 3} \cdot \frac{1}{a(a + 5)} $

Сократим общий множитель $(a + 5)$:

$ \frac{a - 5}{a(a + 3)} $

2. Теперь выполним вычитание. Разложим знаменатель второй дроби на множители:

$ a^2 - 3a = a(a - 3) $

Выражение принимает вид:

$ \frac{a - 5}{a(a + 3)} - \frac{a + 5}{a(a - 3)} $

3. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + 3)(a - 3)$:

$ \frac{(a - 5)(a - 3)}{a(a + 3)(a - 3)} - \frac{(a + 5)(a + 3)}{a(a - 3)(a + 3)} = \frac{(a^2 - 3a - 5a + 15) - (a^2 + 3a + 5a + 15)}{a(a^2 - 9)} $

4. Упростим числитель:

$ \frac{a^2 - 8a + 15 - a^2 - 8a - 15}{a(a^2 - 9)} = \frac{-16a}{a(a^2 - 9)} $

5. Сократим дробь на $a$:

$ \frac{-16}{a^2 - 9} $

Ответ: $ -\frac{16}{a^2 - 9} $.

б) $ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{x^2 + 3x}{4x^2 - 1} : \frac{3 + x}{4x + 2} $

1. Сначала выполним деление. Разложим выражения на множители:

$ x^2 + 3x = x(x + 3) $

$ 4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1) $ (разность квадратов)

$ 4x + 2 = 2(2x + 1) $

2. Перепишем деление как умножение на обратную дробь:

$ \frac{x(x + 3)}{(2x - 1)(2x + 1)} \cdot \frac{2(2x + 1)}{x + 3} $

Сократим общие множители $(x + 3)$ и $(2x + 1)$:

$ \frac{2x}{2x - 1} $

3. Теперь выполним сложение:

$ \frac{1 - 2x}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} $

Заметим, что $1 - 2x = -(2x - 1)$. Перепишем первую дробь:

$ -\frac{2x - 1}{2x + 1} + \frac{2x}{2x - 1} = \frac{2x}{2x - 1} - \frac{2x - 1}{2x + 1} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1$:

$ \frac{2x(2x + 1)}{(2x - 1)(2x + 1)} - \frac{(2x - 1)(2x - 1)}{(2x + 1)(2x - 1)} = \frac{2x(2x + 1) - (2x - 1)^2}{4x^2 - 1} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{(4x^2 + 2x) - (4x^2 - 4x + 1)}{4x^2 - 1} = \frac{4x^2 + 2x - 4x^2 + 4x - 1}{4x^2 - 1} = \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $

Ответ: $ \frac{6x - 1}{4x^2 - 1} $.

в) $ \frac{b - c}{a + b} - \frac{ab - b^2}{a^2 - ac} \cdot \frac{a^2 - c^2}{a^2 - b^2} $

1. Сначала выполним умножение. Разложим выражения на множители:

$ ab - b^2 = b(a - b) $

$ a^2 - ac = a(a - c) $

$ a^2 - c^2 = (a - c)(a + c) $ (разность квадратов)

$ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ (разность квадратов)

2. Перепишем умножение с разложенными множителями:

$ \frac{b(a - b)}{a(a - c)} \cdot \frac{(a - c)(a + c)}{(a - b)(a + b)} $

Сократим общие множители $(a - b)$ и $(a - c)$:

$ \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $

3. Теперь выполним вычитание:

$ \frac{b - c}{a + b} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a(a + b)$:

$ \frac{a(b - c)}{a(a + b)} - \frac{b(a + c)}{a(a + b)} = \frac{a(b - c) - b(a + c)}{a(a + b)} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{ab - ac - ab - bc}{a(a + b)} = \frac{-ac - bc}{a(a + b)} $

Вынесем общий множитель $-c$ в числителе:

$ \frac{-c(a + b)}{a(a + b)} $

6. Сократим дробь на $(a + b)$:

$ -\frac{c}{a} $

Ответ: $ -\frac{c}{a} $.

г) $ \frac{a^2 - 4}{x^2 - 9} : \frac{a^2 - 2a}{xy + 3y} + \frac{2 - y}{x - 3} $

1. Сначала выполним деление. Разложим выражения на множители:

$ a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2) $

$ x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3) $

$ a^2 - 2a = a(a - 2) $

$ xy + 3y = y(x + 3) $

2. Перепишем деление как умножение на обратную дробь:

$ \frac{(a - 2)(a + 2)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{y(x + 3)}{a(a - 2)} $

Сократим общие множители $(a - 2)$ и $(x + 3)$:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} $

3. Теперь выполним сложение:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} + \frac{2 - y}{x - 3} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $a(x - 3)$:

$ \frac{y(a + 2)}{a(x - 3)} + \frac{a(2 - y)}{a(x - 3)} = \frac{y(a + 2) + a(2 - y)}{a(x - 3)} $

5. Раскроем скобки и упростим числитель:

$ \frac{ay + 2y + 2a - ay}{a(x - 3)} = \frac{2y + 2a}{a(x - 3)} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a + y)}{a(x - 3)} $

Ответ: $ \frac{2(a + y)}{a(x - 3)} $.

154. Выполните действия:

a) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y}\right)\left(x - \frac{x^2 + y^2}{x + y}\right);$

б) $\left(a + b - \frac{2ab}{a + b}\right) : \left(\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}\right);$

в) $(x^2 - 1)\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 1\right);$

г) $\left(m + 1 - \frac{1}{1 - m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m - 1}\right).$

а) Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Упростим первое выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $y(x-y)$:
$(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}) = \frac{1 \cdot (x-y) + 2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$.

2. Упростим второе выражение в скобках. Приведем к общему знаменателю $x+y$:
$(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}) = \frac{x(x+y) - (x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$.

3. Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$ и $y(x-y)$.
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$.

Ответ: $1$

б) Выполним действия по шагам. Сначала упростим делимое и делитель.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Приведем к общему знаменателю $(a+b)$:
$a+b-\frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b) - 2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Приведем к общему знаменателю $a(a+b)$:
$\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$.
Сократим одинаковые множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$.
$\frac{1}{1} \cdot \frac{a}{1} = a$.

Ответ: $a$

в) Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей будет $(x-1)(x+1) = x^2-1$:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{(x+1)-(x-1)+(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1+x^2-1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$.

2. Теперь умножим первый множитель $(x^2-1)$ на полученную дробь:
$(x^2-1) \cdot \frac{x^2+1}{x^2-1}$.
Сократим множитель $(x^2-1)$ в числителе и знаменателе.
$1 \cdot (x^2+1) = x^2+1$.

Ответ: $x^2+1$

г) Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражения в скобках.

1. Упростим делимое. Обратим внимание, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.
$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1}$.
Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:
$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$.

2. Упростим делитель. Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:
$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)-m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m}$.
Сократим $(m-1)$ и $m$.
$\frac{m}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -m$.

Ответ: $-m$

156. Представьте в виде дроби:

а) $\frac{x+2}{x^2-2x+1} \cdot \frac{3x-3}{x^2-4} - \frac{3}{x-2}$

б) $\frac{a-2}{4a^2+16a+16} : \left(\frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a}\right)$

a) Для того чтобы представить выражение в виде дроби, выполним действия по порядку: сначала умножение, а затем вычитание.
1. Выполним умножение дробей. Для этого разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов) и вынесение общего множителя за скобки.
$ \frac{x+2}{x^2 - 2x + 1} \cdot \frac{3x-3}{x^2 - 4} = \frac{x+2}{(x-1)^2} \cdot \frac{3(x-1)}{(x-2)(x+2)} $
Сократим общие множители $(x+2)$ и $(x-1)$:
$ \frac{\cancel{x+2}}{(x-1)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(x-1)}}{(x-2)(\cancel{x+2})} = \frac{3}{(x-1)(x-2)} $
2. Теперь выполним вычитание, используя результат первого действия:
$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3}{x-2} $
Приведем дроби к общему знаменателю $(x-1)(x-2)$. Для этого домножим вторую дробь на $(x-1)$:
$ \frac{3}{(x-1)(x-2)} - \frac{3(x-1)}{(x-2)(x-1)} = \frac{3 - 3(x-1)}{(x-1)(x-2)} $
Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:
$ \frac{3 - 3x + 3}{(x-1)(x-2)} = \frac{6 - 3x}{(x-1)(x-2)} $
Вынесем общий множитель -3 в числителе, чтобы сократить дробь:
$ \frac{-3(x-2)}{(x-1)(x-2)} = -\frac{3}{x-1} $
Ответ: $ -\frac{3}{x-1} $

б) Сначала упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю, а затем выполним деление.
1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители:
$ \frac{a}{2a-4} - \frac{a^2+4}{2a^2-8} - \frac{2}{a^2+2a} = \frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a^2-4)} - \frac{2}{a(a+2)} = \frac{a}{2(a-2)} - \frac{a^2+4}{2(a-2)(a+2)} - \frac{2}{a(a+2)} $
Общий знаменатель для этих дробей: $2a(a-2)(a+2)$. Приведем все дроби к этому знаменателю:
$ \frac{a \cdot a(a+2)}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{(a^2+4) \cdot a}{2a(a-2)(a+2)} - \frac{2 \cdot 2(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} $
Объединим дроби, выполнив действия в числителе:
$ \frac{a^2(a+2) - a(a^2+4) - 4(a-2)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{a^3 + 2a^2 - a^3 - 4a - 4a + 8}{2a(a-2)(a+2)} $
Упростим числитель, приведя подобные слагаемые и разложив на множители:
$ \frac{2a^2 - 8a + 8}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2(a^2 - 4a + 4)}{2a(a-2)(a+2)} = \frac{2(a-2)^2}{2a(a-2)(a+2)} $
Сократим общие множители $2$ и $(a-2)$:
$ \frac{\cancel{2}(a-2)^{\cancel{2}}}{\cancel{2}a\cancel{(a-2)}(a+2)} = \frac{a-2}{a(a+2)} $
2. Теперь выполним деление. Сначала разложим знаменатель делимого на множители:
$ 4a^2+16a+16 = 4(a^2+4a+4) = 4(a+2)^2 $
Деление дробей заменяется умножением на обратную дробь:
$ \frac{a-2}{4(a+2)^2} : \frac{a-2}{a(a+2)} = \frac{a-2}{4(a+2)^2} \cdot \frac{a(a+2)}{a-2} $
Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+2)$:
$ \frac{\cancel{a-2}}{4(a+2)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{a-2}} = \frac{a}{4(a+2)} $
Ответ: $ \frac{a}{4(a+2)} $