Страница 39 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

149. Выполните действия:

а) $(\frac{x}{x+1} + 1) \cdot \frac{1+x}{2x-1};$

б) $(\frac{5y^2}{1-y^2}) : (1 - \frac{1}{1-y});$

в) $(\frac{4a}{2-a} - a) : \frac{a+2}{a-2};$

г) $\frac{x-2}{x-3} \cdot (x + \frac{x}{2-x}).$

а) Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем 1 к общему знаменателю $x+1$:
$\frac{x}{x+1} + 1 = \frac{x}{x+1} + \frac{x+1}{x+1} = \frac{x + x + 1}{x+1} = \frac{2x+1}{x+1}.$
Теперь умножим результат на вторую дробь:
$\frac{2x+1}{x+1} \cdot \frac{1+x}{2x-1}.$
Так как $1+x = x+1$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\frac{2x+1}{\cancel{x+1}} \cdot \frac{\cancel{x+1}}{2x-1} = \frac{2x+1}{2x-1}.$
Ответ: $\frac{2x+1}{2x-1}.$

б) Сначала выполним действие во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $1-y$:
$1 - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y}{1-y} - \frac{1}{1-y} = \frac{1-y-1}{1-y} = \frac{-y}{1-y}.$
Теперь выполним деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{5y^2}{1-y^2} : \frac{-y}{1-y} = \frac{5y^2}{1-y^2} \cdot \frac{1-y}{-y}.$
Разложим знаменатель $1-y^2$ по формуле разности квадратов: $1-y^2 = (1-y)(1+y)$.
$\frac{5y^2}{(1-y)(1+y)} \cdot \frac{1-y}{-y}.$
Сократим общие множители $(1-y)$ и $y$:
$\frac{5y^{\cancel{2}1}}{(\cancel{1-y})(1+y)} \cdot \frac{\cancel{1-y}}{-\cancel{y}} = \frac{5y}{1+y} \cdot \frac{1}{-1} = -\frac{5y}{1+y}.$
Ответ: $-\frac{5y}{1+y}.$

в) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $2-a$:
$\frac{4a}{2-a} - a = \frac{4a}{2-a} - \frac{a(2-a)}{2-a} = \frac{4a - (2a - a^2)}{2-a} = \frac{4a - 2a + a^2}{2-a} = \frac{a^2+2a}{2-a}.$
Теперь выполним деление, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2+2a}{2-a} : \frac{a+2}{a-2} = \frac{a^2+2a}{2-a} \cdot \frac{a-2}{a+2}.$
Вынесем общий множитель в числителе $a^2+2a = a(a+2)$. Также заметим, что $a-2 = -(2-a)$.
$\frac{a(a+2)}{2-a} \cdot \frac{-(2-a)}{a+2}.$
Сократим общие множители $(a+2)$ и $(2-a)$:
$\frac{a(\cancel{a+2})}{\cancel{2-a}} \cdot \frac{-(\cancel{2-a})}{\cancel{a+2}} = a \cdot (-1) = -a.$
Ответ: $-a.$

г) Сначала выполним действие в скобках, приведя к общему знаменателю $2-x$:
$x + \frac{x}{2-x} = \frac{x(2-x)}{2-x} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x-x^2+x}{2-x} = \frac{3x-x^2}{2-x}.$
Теперь выполним умножение:
$\frac{x-2}{x-3} \cdot \frac{3x-x^2}{2-x}.$
Вынесем общий множитель в числителе $3x-x^2 = x(3-x)$. Заметим, что $x(3-x) = -x(x-3)$ и $x-2 = -(2-x)$.
$\frac{-(2-x)}{x-3} \cdot \frac{-x(x-3)}{2-x}.$
Сократим общие множители $(x-3)$ и $(2-x)$:
$\frac{(-1)(\cancel{2-x}) \cdot (-x)(\cancel{x-3})}{(\cancel{x-3}) \cdot (\cancel{2-x})} = (-1)(-x) = x.$
Ответ: $x.$

151. Выполните действия:

а) $\frac{a^2-9}{2a^2+1} \cdot \left(\frac{6a+1}{a-3} + \frac{6a-1}{a+3}\right)$;

б) $\left(\frac{5x+y}{x-5y} + \frac{5x-y}{x+5y}\right) : \frac{x^2+y^2}{x^2-25y^2}$.

а)

Чтобы решить данный пример, сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей исходных дробей: $(a - 3)(a + 3) = a^2 - 9$.

$ \frac{6a + 1}{a - 3} + \frac{6a - 1}{a + 3} = \frac{(6a + 1)(a + 3) + (6a - 1)(a - 3)}{(a - 3)(a + 3)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(6a^2 + 18a + a + 3) + (6a^2 - 18a - a + 3)}{a^2 - 9} = \frac{6a^2 + 19a + 3 + 6a^2 - 19a + 3}{a^2 - 9} = \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9} $

Теперь подставим результат обратно в исходное выражение и выполним умножение:

$ \frac{a^2 - 9}{2a^2 + 1} \cdot \frac{12a^2 + 6}{a^2 - 9} $

Сократим общий множитель $(a^2 - 9)$:

$ \frac{12a^2 + 6}{2a^2 + 1} $

В числителе вынесем за скобки общий множитель 6:

$ \frac{6(2a^2 + 1)}{2a^2 + 1} $

Сократим общий множитель $(2a^2 + 1)$ и получим конечный результат:

$ 6 $

Ответ: $6$.

б)

Аналогично предыдущему примеру, начнем с выполнения действия в скобках. Общий знаменатель для дробей равен $(x - 5y)(x + 5y) = x^2 - (5y)^2 = x^2 - 25y^2$.

$ \frac{5x + y}{x - 5y} + \frac{5x - y}{x + 5y} = \frac{(5x + y)(x + 5y) + (5x - y)(x - 5y)}{(x - 5y)(x + 5y)} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{(5x^2 + 25xy + xy + 5y^2) + (5x^2 - 25xy - xy + 5y^2)}{x^2 - 25y^2} = \frac{5x^2 + 26xy + 5y^2 + 5x^2 - 26xy + 5y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10x^2 + 10y^2}{x^2 - 25y^2} $

Вынесем в числителе общий множитель 10 за скобки:

$ \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} $

Теперь выполним деление. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную ей дробь:

$ \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} : \frac{x^2 + y^2}{x^2 - 25y^2} = \frac{10(x^2 + y^2)}{x^2 - 25y^2} \cdot \frac{x^2 - 25y^2}{x^2 + y^2} $

Сократим общие множители $(x^2 + y^2)$ и $(x^2 - 25y^2)$ в числителе и знаменателе:

$ 10 $

Ответ: $10$.

148. Выполните действия:

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x});$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a});$

в) $\frac{ab + b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a + b}{b};$

г) $\frac{x - y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2 - xy}{5y}.$

а) $(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x}) : (\frac{1}{y} + \frac{1}{x})$

Сначала выполним действия в каждой из скобок. Приведем дроби к общему знаменателю.

1. В первой скобке общий знаменатель $xy^2$:

$\frac{x}{y^2} - \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x}{xy^2} - \frac{1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2}$

2. Во второй скобке общий знаменатель $xy$:

$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{1 \cdot x}{xy} + \frac{1 \cdot y}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

3. Теперь выполним деление. Для этого умножим первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{x^2 - y^2}{xy^2} : \frac{x+y}{xy} = \frac{x^2 - y^2}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Разложим числитель первой дроби по формуле разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$\frac{(x-y)(x+y)}{xy^2} \cdot \frac{xy}{x+y}$

Сократим общие множители $(x+y)$, $x$ и $y$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{\cancel{x}y^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}\cancel{y}}{\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{y}$

Ответ: $\frac{x-y}{y}$

б) $(\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3}) : (\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a})$

1. Упростим выражение в первой скобке, приведя дроби к общему знаменателю $m^3$:

$\frac{a}{m^2} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{a \cdot m}{m^3} + \frac{a^2}{m^3} = \frac{am + a^2}{m^3} = \frac{a(m+a)}{m^3}$

2. Упростим выражение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $a^2$:

$\frac{m^2}{a^2} + \frac{m}{a} = \frac{m^2}{a^2} + \frac{m \cdot a}{a^2} = \frac{m^2 + ma}{a^2} = \frac{m(m+a)}{a^2}$

3. Выполним деление, умножив результат первого действия на выражение, обратное результату второго действия:

$\frac{a(a+m)}{m^3} : \frac{m(m+a)}{a^2} = \frac{a(a+m)}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m(m+a)}$

Сократим общий множитель $(a+m)$:

$\frac{a\cancel{(a+m)}}{m^3} \cdot \frac{a^2}{m\cancel{(m+a)}} = \frac{a \cdot a^2}{m^3 \cdot m} = \frac{a^3}{m^4}$

Ответ: $\frac{a^3}{m^4}$

в) $\frac{ab+b^2}{3} : \frac{b^3}{3a} + \frac{a+b}{b}$

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.

1. Выполним деление. Сначала вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

$\frac{b(a+b)}{3} : \frac{b^3}{3a} = \frac{b(a+b)}{3} \cdot \frac{3a}{b^3}$

Сократим общие множители $3$ и $b$:

$\frac{\cancel{b}(a+b)}{\cancel{3}} \cdot \frac{\cancel{3}a}{b^{\cancel{3}2}} = \frac{a(a+b)}{b^2}$

2. Теперь выполним сложение:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{a+b}{b}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b^2$:

$\frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{(a+b) \cdot b}{b \cdot b} = \frac{a(a+b)}{b^2} + \frac{b(a+b)}{b^2} = \frac{a(a+b) + b(a+b)}{b^2}$

Вынесем общий множитель $(a+b)$ в числителе:

$\frac{(a+b)(a+b)}{b^2} = \frac{(a+b)^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{(a+b)^2}{b^2}$

г) $\frac{x-y}{x} - \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y}$

Сначала выполняем умножение.

1. Выполним умножение дробей. В числителе второй дроби вынесем общий множитель $x$:

$\frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x^2-xy}{5y} = \frac{5y}{x^2} \cdot \frac{x(x-y)}{5y}$

Сократим общие множители $5y$ и $x$:

$\frac{\cancel{5y}}{x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{x}(x-y)}{\cancel{5y}} = \frac{x-y}{x}$

2. Теперь выполним вычитание, подставив полученный результат в исходное выражение:

$\frac{x-y}{x} - \frac{x-y}{x} = 0$

Ответ: $0$

150. Упростите выражение:

a) $(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}) : \frac{4m}{10m-5}$;

б) $\frac{x+3}{x^2+9} \cdot (\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3})$.

а)

Исходное выражение: $ \left(\frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1}\right) : \frac{4m}{10m-5} $.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $(2m-1)(2m+1)$.

$ \frac{2m+1}{2m-1} - \frac{2m-1}{2m+1} = \frac{(2m+1)(2m+1)}{(2m-1)(2m+1)} - \frac{(2m-1)(2m-1)}{(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2 - (2m-1)^2}{(2m-1)(2m+1)} $

Воспользуемся формулой разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $ для числителя, где $ a = 2m+1 $ и $ b = 2m-1 $.

$ (2m+1)^2 - (2m-1)^2 = ((2m+1) - (2m-1))((2m+1) + (2m-1)) = (2m+1-2m+1)(2m+1+2m-1) = (2)(4m) = 8m $

Знаменатель можно записать как $ (2m-1)(2m+1) = 4m^2 - 1 $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{8m}{4m^2 - 1} $.

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$ \frac{8m}{4m^2 - 1} : \frac{4m}{10m-5} = \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{10m-5}{4m} $

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ 10m-5 = 5(2m-1) $.

$ \frac{8m}{(2m-1)(2m+1)} \cdot \frac{5(2m-1)}{4m} $

3. Сократим общие множители. Сокращаем $ 8m $ и $ 4m $ на $ 4m $, остается $ 2 $. Сокращаем $ (2m-1) $.

$ \frac{2}{(2m+1)} \cdot \frac{5}{1} = \frac{10}{2m+1} $

Ответ: $ \frac{10}{2m+1} $

б)

Исходное выражение: $ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \left(\frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3}\right) $.

1. Упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$.

$ \frac{x+3}{x-3} + \frac{x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{(x-3)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{(x+3)^2 + (x-3)^2}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем квадраты в числителе:

$ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 $

$ (x-3)^2 = x^2 - 6x + 9 $

Сложим их: $ (x^2 + 6x + 9) + (x^2 - 6x + 9) = 2x^2 + 18 = 2(x^2 + 9) $.

Таким образом, выражение в скобках равно: $ \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)} $.

2. Теперь выполним умножение.

$ \frac{x+3}{x^2+9} \cdot \frac{2(x^2 + 9)}{(x-3)(x+3)} $

3. Сократим общие множители. Сокращаем $ (x+3) $ в числителе первой дроби и знаменателе второй. Сокращаем $ (x^2+9) $ в знаменателе первой дроби и числителе второй.

$ \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{x-3} = \frac{2}{x-3} $

Ответ: $ \frac{2}{x-3} $