Страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

173. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью $9 \text{ км/ч}$, затем со скоростью $12 \text{ км/ч}$ и, наконец, со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?

Для нахождения средней скорости необходимо весь пройденный путь разделить на всё время движения. Формула средней скорости выглядит так:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим дистанцию, которую школьник проходил каждый раз, за $S$. Поскольку он преодолел эту дистанцию трижды, общий пройденный путь составит:

$S_{общ} = S + S + S = 3S$

Теперь найдём время, затраченное на прохождение каждого из трёх участков. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

1. Время на первом участке, где скорость была $v_1 = 9$ км/ч:

$t_1 = \frac{S}{9}$ ч

2. Время на втором участке, где скорость была $v_2 = 12$ км/ч:

$t_2 = \frac{S}{12}$ ч

3. Время на третьем участке, где скорость была $v_3 = 10$ км/ч:

$t_3 = \frac{S}{10}$ ч

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{9} + \frac{S}{12} + \frac{S}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 9, 12 и 10 равно 180.

$t_{общ} = S \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{10}\right) = S \cdot \left(\frac{20}{180} + \frac{15}{180} + \frac{18}{180}\right) = S \cdot \frac{20 + 15 + 18}{180} = S \cdot \frac{53}{180}$ ч

Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить среднюю скорость. Подставим значения общего пути и общего времени в исходную формулу:

$v_{ср} = \frac{3S}{S \cdot \frac{53}{180}}$

Величина дистанции $S$ сокращается, и мы получаем:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{53}{180}} = 3 \cdot \frac{180}{53} = \frac{540}{53}$ км/ч

Для удобства можно представить этот результат в виде смешанного числа:

$\frac{540}{53} = 10 \frac{10}{53}$ км/ч

Ответ: средняя скорость школьника на всём пути составила $10 \frac{10}{53}$ км/ч.

175. Напишите уравнение прямой:

a) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой $y = 3x$;

б) проходящей через начало координат и параллельной прямой $y = -\frac{1}{2}x - 8$.

а) проходящей через точку (0; 4) и параллельной прямой y = 3x;

Общее уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент (наклон), а $b$ — это ордината точки пересечения прямой с осью OY.

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Уравнение данной прямой $y = 3x$. Ее угловой коэффициент $k_1 = 3$.

Поскольку искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент $k$ также равен 3. Значит, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 3x + b$.

Нам известно, что прямая проходит через точку с координатами $(0; 4)$. Это означает, что при $x = 0$ значение $y$ должно быть равно 4. Подставим эти значения в уравнение прямой, чтобы найти коэффициент $b$:

$4 = 3 \cdot 0 + b$

$4 = 0 + b$

$b = 4$

Подставив найденное значение $b$ в уравнение, получаем окончательный вид уравнения искомой прямой.

Ответ: $y = 3x + 4$.

б) проходящей через начало координат и параллельной прямой $y = -\frac{1}{2}x - 8$.

Уравнение данной прямой $y = -\frac{1}{2}x - 8$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -\frac{1}{2}$.

Так как искомая прямая параллельна данной, ее угловой коэффициент $k$ также равен $-\frac{1}{2}$. Уравнение искомой прямой можно записать в виде $y = -\frac{1}{2}x + b$.

Нам известно, что прямая проходит через начало координат, то есть через точку $(0; 0)$. Подставим координаты этой точки ($x = 0, y = 0$) в уравнение прямой для нахождения $b$:

$0 = -\frac{1}{2} \cdot 0 + b$

$0 = 0 + b$

$b = 0$

Подставив $b = 0$ в уравнение, получаем окончательный вид.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.

177. Одна сторона прямоугольника на 20 см больше другой. Если меньшую сторону увеличить вдвое, а большую — втрое, то периметр нового прямоугольника окажется равным 240 см. Найдите стороны данного прямоугольника.

Пусть меньшая сторона исходного прямоугольника равна $x$ см. Согласно условию, одна сторона на 20 см больше другой, следовательно, большая сторона равна $(x + 20)$ см.

После изменений, если меньшую сторону увеличить вдвое, ее новая длина составит $2x$ см. Если большую сторону увеличить втрое, ее новая длина будет $3(x + 20)$ см.

Периметр нового прямоугольника равен 240 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон. Составим уравнение на основе данных о новом прямоугольнике:
$2(2x + 3(x + 20)) = 240$

Решим полученное уравнение поэтапно:
1. Разделим обе части уравнения на 2:
$2x + 3(x + 20) = 120$
2. Раскроем скобки в левой части:
$2x + 3x + 60 = 120$
3. Приведем подобные слагаемые:
$5x + 60 = 120$
4. Перенесем свободный член (60) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$5x = 120 - 60$
$5x = 60$
5. Найдем $x$, разделив обе части на 5:
$x = \frac{60}{5}$
$x = 12$

Таким образом, мы нашли длину меньшей стороны исходного прямоугольника — она равна 12 см.
Теперь найдем длину большей стороны, прибавив 20 см:
$12 + 20 = 32$ см.

Ответ: стороны данного прямоугольника равны 12 см и 32 см.

174. Найдите координаты точек пересечения с осью $x$ и осью $y$ графика функции:

а) $y = \frac{1}{2}x - 2$;

б) $y = -0,4x + 2$.

Постройте график этой функции.

а)

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{2}x - 2$. Это линейная функция, её график — прямая.

1. Нахождение точки пересечения с осью x (осью абсцисс)

В точке пересечения с осью x координата $y$ равна нулю. Подставим $y = 0$ в уравнение функции и решим относительно $x$:

$0 = \frac{1}{2}x - 2$

$\frac{1}{2}x = 2$

$x = 2 \cdot 2$

$x = 4$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью x: $(4; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y (осью ординат)

В точке пересечения с осью y координата $x$ равна нулю. Подставим $x = 0$ в уравнение функции:

$y = \frac{1}{2} \cdot 0 - 2$

$y = -2$

Следовательно, координаты точки пересечения с осью y: $(0; -2)$.

3. Построение графика

Для построения графика линейной функции (прямой) достаточно двух точек. Мы уже определили две точки — это точки пересечения с осями координат: $(4; 0)$ и $(0; -2)$. Чтобы построить график, нужно отметить эти две точки на координатной плоскости и провести через них прямую линию.

Ответ: координаты точек пересечения с осями: с осью x — $(4; 0)$, с осью y — $(0; -2)$.

б)

Рассмотрим функцию $y = -0,4x + 2$. Это также линейная функция, и её график — прямая.

1. Нахождение точки пересечения с осью x (осью абсцисс)

Приравняем $y$ к нулю:

$0 = -0,4x + 2$

$0,4x = 2$

$x = \frac{2}{0,4}$

$x = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Координаты точки пересечения с осью x: $(5; 0)$.

2. Нахождение точки пересечения с осью y (осью ординат)

Подставим $x = 0$ в уравнение:

$y = -0,4 \cdot 0 + 2$

$y = 2$

Координаты точки пересечения с осью y: $(0; 2)$.

3. Построение графика

Для построения прямой используем найденные точки пересечения с осями: $(5; 0)$ и $(0; 2)$. Отмечаем эти точки на координатной плоскости и проводим через них прямую. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = -0,4x + 2$.

Ответ: координаты точек пересечения с осями: с осью x — $(5; 0)$, с осью y — $(0; 2)$.

176. Изобразите схематически график функции, заданной формулой

вида $y = kx + b$, если:

а) $k > 0, b > 0;$

б) $k < 0, b > 0;$

в) $k < 0, b < 0;$

г) $k = 0, b > 0.$

Для построения схематических графиков функции вида $y = kx + b$ проанализируем, как влияют на расположение прямой коэффициенты $k$ и $b$.

• Коэффициент $k$ (угловой коэффициент) отвечает за наклон прямой.
  • Если $k > 0$, функция возрастает (прямая идет "вверх" слева направо).
  • Если $k < 0$, функция убывает (прямая идет "вниз" слева направо).
  • Если $k = 0$, прямая параллельна оси абсцисс (горизонтальна).
• Коэффициент $b$ (свободный член) показывает точку пересечения графика с осью ординат (осью $y$).
  • Если $b > 0$, прямая пересекает ось $y$ выше начала координат.
  • Если $b < 0$, прямая пересекает ось $y$ ниже начала координат.
  • Если $b = 0$, прямая проходит через начало координат.

а) $k > 0, b > 0$

Так как $k > 0$, функция является возрастающей, то есть ее график наклонен вправо и образует острый угол с положительным направлением оси $x$. Так как $b > 0$, график пересекает ось $y$ в точке $(0, b)$, которая лежит выше оси $x$. Таким образом, прямая проходит через I, II и III координатные четверти.

Ответ:

б) $k < 0, b > 0$

Так как $k < 0$, функция является убывающей, то есть ее график наклонен влево и образует тупой угол с положительным направлением оси $x$. Так как $b > 0$, график пересекает ось $y$ в точке $(0, b)$, которая лежит выше оси $x$. Таким образом, прямая проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ:

в) $k < 0, b < 0$

Так как $k < 0$, функция является убывающей (график наклонен влево). Так как $b < 0$, график пересекает ось $y$ в точке $(0, b)$, которая лежит ниже оси $x$. Таким образом, прямая проходит через II, III и IV координатные четверти.

Ответ:

г) $k = 0, b > 0$

Так как $k = 0$, уравнение функции принимает вид $y = b$. Это означает, что для любого значения $x$ значение $y$ остается постоянным и равным $b$. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси $x$. Так как $b > 0$, эта прямая расположена выше оси $x$. Таким образом, прямая проходит через I и II координатные четверти.

Ответ:

178. Скорый и пассажирский поезда идут навстречу друг другу с двух станций, расстояние между которыми 710 км. Скорый поезд вышел на час раньше пассажирского и идёт со скоростью 110 км/ч. Через сколько часов после своего отправления он встретится с пассажирским поездом, если скорость пассажирского поезда равна 90 км/ч?

Для решения задачи составим уравнение. Пусть $t$ — это время в часах, которое ехал скорый поезд до встречи с пассажирским поездом. Это искомая величина.

Скорость скорого поезда $v_{ск} = 110$ км/ч. Расстояние, которое он проехал за время $t$, равно:

$S_{ск} = v_{ск} \cdot t = 110t$

Поскольку скорый поезд вышел на 1 час раньше, пассажирский поезд к моменту встречи находился в пути на 1 час меньше, то есть $(t-1)$ час. Скорость пассажирского поезда $v_{пасс} = 90$ км/ч. Расстояние, которое он проехал, равно:

$S_{пасс} = v_{пасс} \cdot (t - 1) = 90(t - 1)$

Поезда двигались навстречу друг другу, и в момент встречи сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию между станциями, которое составляет 710 км. Составим и решим уравнение:

$S_{ск} + S_{пасс} = 710$

$110t + 90(t - 1) = 710$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$110t + 90t - 90 = 710$

Приведем подобные слагаемые:

$200t - 90 = 710$

Перенесем число -90 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$200t = 710 + 90$

$200t = 800$

Теперь найдем $t$, разделив обе части уравнения на 200:

$t = \frac{800}{200}$

$t = 4$

Таким образом, скорый поезд встретится с пассажирским через 4 часа после своего отправления.

Проверка:

За 4 часа скорый поезд проедет $110 \text{ км/ч} \cdot 4 \text{ ч} = 440$ км.
Пассажирский поезд будет в пути на 1 час меньше, то есть $4 - 1 = 3$ часа. За это время он проедет $90 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 270$ км.
Общее расстояние, которое они проехали вместе, составляет $440 \text{ км} + 270 \text{ км} = 710$ км, что совпадает с расстоянием между станциями.

Ответ: 4 часа.