Номер 173, страница 43 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 173, страница 43.

173. Готовясь к соревнованиям, школьник трижды прошёл на лыжах одну и ту же дистанцию: сначала со скоростью $9 \text{ км/ч}$, затем со скоростью $12 \text{ км/ч}$ и, наконец, со скоростью $10 \text{ км/ч}$. Какова была средняя скорость школьника на всём пути?

Для нахождения средней скорости необходимо весь пройденный путь разделить на всё время движения. Формула средней скорости выглядит так:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим дистанцию, которую школьник проходил каждый раз, за $S$. Поскольку он преодолел эту дистанцию трижды, общий пройденный путь составит:

$S_{общ} = S + S + S = 3S$

Теперь найдём время, затраченное на прохождение каждого из трёх участков. Время вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.

1. Время на первом участке, где скорость была $v_1 = 9$ км/ч:

$t_1 = \frac{S}{9}$ ч

2. Время на втором участке, где скорость была $v_2 = 12$ км/ч:

$t_2 = \frac{S}{12}$ ч

3. Время на третьем участке, где скорость была $v_3 = 10$ км/ч:

$t_3 = \frac{S}{10}$ ч

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени, затраченного на каждый участок:

$t_{общ} = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S}{9} + \frac{S}{12} + \frac{S}{10}$

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 9, 12 и 10 равно 180.

$t_{общ} = S \cdot \left(\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{1}{10}\right) = S \cdot \left(\frac{20}{180} + \frac{15}{180} + \frac{18}{180}\right) = S \cdot \frac{20 + 15 + 18}{180} = S \cdot \frac{53}{180}$ ч

Теперь у нас есть все данные, чтобы вычислить среднюю скорость. Подставим значения общего пути и общего времени в исходную формулу:

$v_{ср} = \frac{3S}{S \cdot \frac{53}{180}}$

Величина дистанции $S$ сокращается, и мы получаем:

$v_{ср} = \frac{3}{\frac{53}{180}} = 3 \cdot \frac{180}{53} = \frac{540}{53}$ км/ч

Для удобства можно представить этот результат в виде смешанного числа:

$\frac{540}{53} = 10 \frac{10}{53}$ км/ч

Ответ: средняя скорость школьника на всём пути составила $10 \frac{10}{53}$ км/ч.