Номер 166, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 166, страница 42.

166. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

а) $\frac{x-a}{x-b}$, если $x = \frac{ab}{a+b}$;

б) $\frac{\frac{a}{b}-x}{\frac{b}{a}+x}$, если $x = \frac{a-b}{a+b}$.

а)

Подставим значение $x = \frac{ab}{a+b}$ в выражение $\frac{x-a}{x-b}$.

Получим многоэтажную дробь:

$\frac{\frac{ab}{a+b} - a}{\frac{ab}{a+b} - b}$

Сначала преобразуем числитель. Приведем его к общему знаменателю $(a+b)$:

$x - a = \frac{ab}{a+b} - a = \frac{ab - a(a+b)}{a+b} = \frac{ab - a^2 - ab}{a+b} = \frac{-a^2}{a+b}$

Теперь преобразуем знаменатель. Приведем его к общему знаменателю $(a+b)$:

$x - b = \frac{ab}{a+b} - b = \frac{ab - b(a+b)}{a+b} = \frac{ab - ab - b^2}{a+b} = \frac{-b^2}{a+b}$

Подставим полученные выражения обратно в дробь и выполним деление:

$\frac{\frac{-a^2}{a+b}}{\frac{-b^2}{a+b}} = \frac{-a^2}{a+b} \cdot \frac{a+b}{-b^2} = \frac{(-a^2)(a+b)}{(-b^2)(a+b)}$

Сократим дробь на $(a+b)$ и на $-1$:

$\frac{a^2}{b^2}$

Ответ: $\frac{a^2}{b^2}$

б)

Подставим значение $x = \frac{a-b}{a+b}$ в выражение $\frac{\frac{a}{b} - x}{\frac{b}{a} + x}$.

Получим выражение:

$\frac{\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b}}{\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b}}$

Преобразуем числитель, приведя дроби к общему знаменателю $b(a+b)$:

$\frac{a}{b} - \frac{a-b}{a+b} = \frac{a(a+b) - b(a-b)}{b(a+b)} = \frac{a^2 + ab - ab + b^2}{b(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}$

Преобразуем знаменатель, приведя дроби к общему знаменателю $a(a+b)$:

$\frac{b}{a} + \frac{a-b}{a+b} = \frac{b(a+b) + a(a-b)}{a(a+b)} = \frac{ab + b^2 + a^2 - ab}{a(a+b)} = \frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}$

Разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$\frac{\frac{a^2 + b^2}{b(a+b)}}{\frac{a^2 + b^2}{a(a+b)}} = \frac{a^2 + b^2}{b(a+b)} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2 + b^2}$

Сократим одинаковые множители $(a^2 + b^2)$ и $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a^2 + b^2}}{b(\cancel{a+b})} \cdot \frac{a(\cancel{a+b})}{\cancel{a^2 + b^2}} = \frac{a}{b}$

Ответ: $\frac{a}{b}$