Номер 167, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 167, страница 42.

167. Выполните подстановку и упростите полученное выражение:

a) $\frac{a+b}{a-b}$, если $a=\frac{1}{1-x}$, $b=\frac{1}{1+x}$;

б) $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, если $x=\frac{ab}{a-b}$.

а)

Дано выражение $\frac{a+b}{a-b}$, где $a = \frac{1}{1-x}$ и $b = \frac{1}{1+x}$.

Подставим значения $a$ и $b$ в исходное выражение:

$\frac{\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}}{\frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x}}$

Сначала преобразуем числитель дроби. Приведем дроби к общему знаменателю $(1-x)(1+x) = 1-x^2$:

$a+b = \frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x)}{(1-x)(1+x)} + \frac{1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x+1-x}{1-x^2} = \frac{2}{1-x^2}$

Теперь преобразуем знаменатель дроби, используя тот же общий знаменатель:

$a-b = \frac{1}{1-x} - \frac{1}{1+x} = \frac{1 \cdot (1+x)}{(1-x)(1+x)} - \frac{1 \cdot (1-x)}{(1-x)(1+x)} = \frac{1+x-(1-x)}{1-x^2} = \frac{1+x-1+x}{1-x^2} = \frac{2x}{1-x^2}$

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$\frac{\frac{2}{1-x^2}}{\frac{2x}{1-x^2}}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{2}{1-x^2} \cdot \frac{1-x^2}{2x} = \frac{2 \cdot (1-x^2)}{(1-x^2) \cdot 2x}$

Сокращаем общие множители 2 и $(1-x^2)$:

$\frac{1}{x}$

Ответ: $\frac{1}{x}$

б)

Дано выражение $\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x}$, где $x = \frac{ab}{a-b}$.

Подставим значение $x$ в выражение. Упростим каждую дробь по отдельности.

Упростим первую дробь $\frac{ax}{a+x}$:

Сначала найдем числитель: $ax = a \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2b}{a-b}$

Теперь найдем знаменатель: $a+x = a + \frac{ab}{a-b} = \frac{a(a-b)}{a-b} + \frac{ab}{a-b} = \frac{a^2-ab+ab}{a-b} = \frac{a^2}{a-b}$

Разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{\frac{a^2b}{a-b}}{\frac{a^2}{a-b}} = \frac{a^2b}{a-b} \cdot \frac{a-b}{a^2} = b$

Упростим вторую дробь $\frac{bx}{b-x}$:

Сначала найдем числитель: $bx = b \cdot \frac{ab}{a-b} = \frac{ab^2}{a-b}$

Теперь найдем знаменатель: $b-x = b - \frac{ab}{a-b} = \frac{b(a-b)}{a-b} - \frac{ab}{a-b} = \frac{ab-b^2-ab}{a-b} = \frac{-b^2}{a-b}$

Разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{\frac{ab^2}{a-b}}{\frac{-b^2}{a-b}} = \frac{ab^2}{a-b} \cdot \frac{a-b}{-b^2} = \frac{a}{-1} = -a$

Теперь вернемся к исходному выражению и подставим упрощенные значения дробей:

$\frac{ax}{a+x} - \frac{bx}{b-x} = b - (-a) = b+a$

Ответ: $a+b$