Номер 170, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 170, страница 42.

170. Найдите среднее гармоническое чисел:

а) 3, 5;

б) 2, 4, 8;

в) 5, 10, 15, 20.

Среднее гармоническое нескольких чисел — это число, обратное среднему арифметическому их обратных. Формула для нахождения среднего гармонического $H$ для набора из $n$ чисел $x_1, x_2, \dots, x_n$ выглядит так:

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$

Применим эту формулу для каждого из пунктов.

а)

Найдём среднее гармоническое для чисел 3 и 5. Здесь количество чисел $n=2$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{2}{\frac{1}{3} + \frac{1}{5}}$

Сначала вычислим сумму в знаменателе:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{2}{\frac{8}{15}} = 2 \cdot \frac{15}{8} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3,75$

Ответ: $3,75$.

б)

Найдём среднее гармоническое для чисел 2, 4 и 8. Здесь количество чисел $n=3$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}}$

Вычислим сумму в знаменателе, приведя дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{4+2+1}{8} = \frac{7}{8}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{3}{\frac{7}{8}} = 3 \cdot \frac{8}{7} = \frac{24}{7}$

Ответ: $\frac{24}{7}$.

в)

Найдём среднее гармоническое для чисел 5, 10, 15 и 20. Здесь количество чисел $n=4$.

Подставим значения в формулу:

$H = \frac{4}{\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}}$

Вычислим сумму в знаменателе. Наименьший общий знаменатель для 5, 10, 15 и 20 равен 60.

$\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20} = \frac{12}{60} + \frac{6}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12+6+4+3}{60} = \frac{25}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{25}{60} = \frac{5}{12}$

Теперь найдём среднее гармоническое:

$H = \frac{4}{\frac{5}{12}} = 4 \cdot \frac{12}{5} = \frac{48}{5} = 9,6$

Ответ: $9,6$.