Номер 171, страница 42 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 171, страница 42.

171. Из пункта $A$ в пункт $B$ автобус ехал со скоростью $90 \text{ км/ч}$. На обратном пути из-за непогоды он снизил скорость до $60 \text{ км/ч}$. Какова средняя скорость автобуса на всём пути следования?

Для того чтобы найти среднюю скорость автобуса на всём пути следования, необходимо разделить весь пройденный путь на всё время движения. Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей.

Формула для нахождения средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

где $S_{общ}$ — это общий пройденный путь, а $t_{общ}$ — это общее время в пути.

Пусть расстояние от пункта А до пункта В равно $S$ км. Тогда общий путь, который проехал автобус (туда и обратно), составляет:

$S_{общ} = S + S = 2S$ км.

Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути. Время находится по формуле $t = \frac{S}{v}$.

Время движения из пункта А в пункт В ($t_1$) со скоростью $v_1 = 90$ км/ч:

$t_1 = \frac{S}{90}$ ч.

Время движения на обратном пути из В в А ($t_2$) со скоростью $v_2 = 60$ км/ч:

$t_2 = \frac{S}{60}$ ч.

Общее время в пути ($t_{общ}$) равно сумме времени движения туда и обратно:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{90} + \frac{S}{60}$

Чтобы сложить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 90 и 60 равно 180.

$t_{общ} = \frac{2 \cdot S}{180} + \frac{3 \cdot S}{180} = \frac{2S + 3S}{180} = \frac{5S}{180} = \frac{S}{36}$ ч.

Теперь, зная общий путь и общее время, можем рассчитать среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{5S}{180}}$

Переменная $S$ (расстояние) сокращается:

$v_{ср} = \frac{2}{\frac{5}{180}} = 2 \cdot \frac{180}{5} = \frac{360}{5} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.