Номер 162, страница 41 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 162, страница 41.

162. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}) : (\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3})$ является натуральным числом.

Чтобы доказать, что значение выражения является натуральным числом при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Исходное выражение: $\left(\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3}\right) : \left(\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3}\right)$.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое).

Приведем дроби к общему знаменателю $3n^2$:

$\frac{9}{n^2} + \frac{n}{3} = \frac{9 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} + \frac{n \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{27}{3n^2} + \frac{n^3}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2}$

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель).

Приведем дроби к общему знаменателю $3n^2$:

$\frac{3}{n^2} - \frac{1}{n} + \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3}{n^2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 3n}{n \cdot 3n} + \frac{1 \cdot n^2}{3 \cdot n^2} = \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2}$

3. Выполним деление.

Разделить одну дробь на другую — это то же самое, что умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{27 + n^3}{3n^2} : \frac{9 - 3n + n^2}{3n^2} = \frac{27 + n^3}{3n^2} \cdot \frac{3n^2}{9 - 3n + n^2}$

Сократим общий множитель $3n^2$ (это возможно, так как по условию $n$ — натуральное число, следовательно $n \ge 1$ и $3n^2 \neq 0$):

$\frac{27 + n^3}{9 - 3n + n^2}$

4. Упростим полученное выражение.

Заметим, что числитель $27 + n^3$ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем случае $a=3$ и $b=n$:

$27 + n^3 = 3^3 + n^3 = (3+n)(3^2 - 3n + n^2) = (n+3)(9 - 3n + n^2)$

Подставим разложенный числитель обратно в выражение:

$\frac{(n+3)(9 - 3n + n^2)}{9 - 3n + n^2}$

Теперь мы можем сократить общий множитель $(9 - 3n + n^2)$. Этот множитель не равен нулю ни при каком значении $n$.

В результате упрощения получаем:

$n+3$

По условию задачи, $n$ — любое натуральное число. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \ldots$. Если к любому натуральному числу $n$ прибавить натуральное число $3$, то в результате всегда получится натуральное число, которое будет больше или равно $4$.

Таким образом, мы доказали, что значение исходного выражения при любом натуральном $n$ является натуральным числом.

Ответ: В результате преобразований исходное выражение равно $n+3$. Так как $n$ — натуральное число, то сумма $n+3$ также всегда является натуральным числом.