Номер 155, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 155, страница 40.

155. Упростите выражение:

a) $\frac{4xy}{y^2 - x^2} : \left( \frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} \right);$

б) $\left( \frac{x - 2y}{x^2 + 2xy} - \frac{1}{x^2 - 4y^2} \right) : \frac{x + 2y}{(2y - x)^2} \cdot \frac{(x + 2y)^2}{4y^2}.$

a)

Упростим выражение по действиям.
1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$y^2 - x^2 = (y-x)(y+x)$
$x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$
Теперь выполним сложение:
$\frac{1}{y^2 - x^2} + \frac{1}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{1}{(y-x)(y+x)} + \frac{1}{(y+x)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(y-x)(y+x)^2$:
$\frac{1 \cdot (y+x)}{(y-x)(y+x)^2} + \frac{1 \cdot (y-x)}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{y+x+y-x}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2}$
2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.
$\frac{4xy}{y^2-x^2} : \frac{2y}{(y-x)(y+x)^2} = \frac{4xy}{(y-x)(y+x)} \cdot \frac{(y-x)(y+x)^2}{2y}$
Сократим общие множители $(y-x)$, $(y+x)$ и $2y$.
$\frac{4xy \cdot (y-x)(y+x)^2}{(y-x)(y+x) \cdot 2y} = \frac{2x \cdot (y+x)}{1} = 2x(y+x)$
Поскольку $y+x=x+y$, окончательный вид выражения:
$2x(x+y)$
Ответ: $2x(x+y)$.

б)

Упростим выражение по действиям, соблюдая их порядок.
1. Сначала выполним деление в скобках. Разложим знаменатели на множители, используя формулу разности квадратов и учитывая, что $(2y-x)^2 = (-(x-2y))^2 = (x-2y)^2$.
$x^2 - 4y^2 = (x-2y)(x+2y)$
$\frac{1}{x^2 - 4y^2} : \frac{x+2y}{(2y-x)^2} = \frac{1}{(x-2y)(x+2y)} \cdot \frac{(x-2y)^2}{x+2y} = \frac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)^2} = \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$
2. Теперь выполним вычитание в скобках. Разложим на множители знаменатель первой дроби: $x^2+2xy = x(x+2y)$.
$\frac{x-2y}{x^2+2xy} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2} = \frac{x-2y}{x(x+2y)} - \frac{x-2y}{(x+2y)^2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2y)^2$:
$\frac{(x-2y)(x+2y)}{x(x+2y)^2} - \frac{x(x-2y)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y)(x+2y) - x(x-2y)}{x(x+2y)^2}$
Вынесем в числителе общий множитель $(x-2y)$ за скобку:
$\frac{(x-2y)((x+2y)-x)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y)(x+2y-x)}{x(x+2y)^2} = \frac{(x-2y) \cdot 2y}{x(x+2y)^2}$
3. Наконец, выполним умножение полученного выражения на последнюю дробь.
$\frac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2} \cdot \frac{(x+2y)^2}{4y^2}$
Сократим общие множители $(x+2y)^2$ и $2y$:
$\frac{2y(x-2y)(x+2y)^2}{x(x+2y)^2 \cdot 4y^2} = \frac{x-2y}{x \cdot 2y} = \frac{x-2y}{2xy}$
Ответ: $\frac{x-2y}{2xy}$.