Номер 154, страница 40 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Преобразование рациональных выражений. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 154, страница 40.

154. Выполните действия:

a) $\left(\frac{1}{y} + \frac{2}{x - y}\right)\left(x - \frac{x^2 + y^2}{x + y}\right);$

б) $\left(a + b - \frac{2ab}{a + b}\right) : \left(\frac{a - b}{a + b} + \frac{b}{a}\right);$

в) $(x^2 - 1)\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} + 1\right);$

г) $\left(m + 1 - \frac{1}{1 - m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m - 1}\right).$

а) Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражения в каждой из скобок.

1. Упростим первое выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $y(x-y)$:
$(\frac{1}{y} + \frac{2}{x-y}) = \frac{1 \cdot (x-y) + 2 \cdot y}{y(x-y)} = \frac{x-y+2y}{y(x-y)} = \frac{x+y}{y(x-y)}$.

2. Упростим второе выражение в скобках. Приведем к общему знаменателю $x+y$:
$(x - \frac{x^2+y^2}{x+y}) = \frac{x(x+y) - (x^2+y^2)}{x+y} = \frac{x^2+xy-x^2-y^2}{x+y} = \frac{xy-y^2}{x+y} = \frac{y(x-y)}{x+y}$.

3. Теперь перемножим полученные упрощенные выражения:
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y}$.
Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе: $(x+y)$ и $y(x-y)$.
$\frac{x+y}{y(x-y)} \cdot \frac{y(x-y)}{x+y} = 1$.

Ответ: $1$

б) Выполним действия по шагам. Сначала упростим делимое и делитель.

1. Упростим выражение в первой скобке (делимое). Приведем к общему знаменателю $(a+b)$:
$a+b-\frac{2ab}{a+b} = \frac{(a+b)(a+b) - 2ab}{a+b} = \frac{a^2+2ab+b^2-2ab}{a+b} = \frac{a^2+b^2}{a+b}$.

2. Упростим выражение во второй скобке (делитель). Приведем к общему знаменателю $a(a+b)$:
$\frac{a-b}{a+b} + \frac{b}{a} = \frac{a(a-b) + b(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a(a+b)}$.

3. Выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:
$\frac{a^2+b^2}{a+b} : \frac{a^2+b^2}{a(a+b)} = \frac{a^2+b^2}{a+b} \cdot \frac{a(a+b)}{a^2+b^2}$.
Сократим одинаковые множители $(a^2+b^2)$ и $(a+b)$.
$\frac{1}{1} \cdot \frac{a}{1} = a$.

Ответ: $a$

в) Выполним действия по шагам.

1. Упростим выражение в скобках. Общий знаменатель для дробей будет $(x-1)(x+1) = x^2-1$:
$\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1 = \frac{1(x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1(x-1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{1(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{(x+1)-(x-1)+(x^2-1)}{x^2-1} = \frac{x+1-x+1+x^2-1}{x^2-1} = \frac{x^2+1}{x^2-1}$.

2. Теперь умножим первый множитель $(x^2-1)$ на полученную дробь:
$(x^2-1) \cdot \frac{x^2+1}{x^2-1}$.
Сократим множитель $(x^2-1)$ в числителе и знаменателе.
$1 \cdot (x^2+1) = x^2+1$.

Ответ: $x^2+1$

г) Выполним действия по шагам. Сначала упростим выражения в скобках.

1. Упростим делимое. Обратим внимание, что $1-m = -(m-1)$, поэтому $\frac{1}{1-m} = -\frac{1}{m-1}$.
$m+1-\frac{1}{1-m} = m+1+\frac{1}{m-1}$.
Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:
$\frac{(m+1)(m-1)}{m-1} + \frac{1}{m-1} = \frac{m^2-1+1}{m-1} = \frac{m^2}{m-1}$.

2. Упростим делитель. Приведем к общему знаменателю $(m-1)$:
$m - \frac{m^2}{m-1} = \frac{m(m-1)-m^2}{m-1} = \frac{m^2-m-m^2}{m-1} = \frac{-m}{m-1}$.

3. Выполним деление полученных выражений:
$\frac{m^2}{m-1} : \frac{-m}{m-1} = \frac{m^2}{m-1} \cdot \frac{m-1}{-m}$.
Сократим $(m-1)$ и $m$.
$\frac{m}{1} \cdot \frac{1}{-1} = -m$.

Ответ: $-m$