Номер 144, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 144, страница 35.

144. Выполните действия:

a) $ \frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}; $

б) $ \frac{c+6b}{ac+2bc-6ab-3a^2} + \frac{2b}{a^2+2ab} - \frac{b}{ac-3a^2}. $

а)

Чтобы выполнить действия с дробями, приведем их к общему знаменателю. Для этого преобразуем знаменатели.

Знаменатель второй дроби: $3-2b = -(2b-3)$.

Знаменатель третьей дроби - это формула разности квадратов: $4b^2-9 = (2b)^2 - 3^2 = (2b-3)(2b+3)$.

Перепишем исходное выражение $\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{3-2b} - \frac{4b^2+9}{4b^2-9}$, изменив знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{2b}{2b+3} - \frac{5}{-(2b-3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{2b}{2b+3} + \frac{5}{2b-3} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$

Общий знаменатель для всех трех дробей - это $(2b-3)(2b+3)$. Приведем все дроби к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

$\frac{2b(2b-3)}{(2b+3)(2b-3)} + \frac{5(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)} - \frac{4b^2+9}{(2b-3)(2b+3)}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, можно выполнить действия с числителями:

$\frac{2b(2b-3) + 5(2b+3) - (4b^2+9)}{(2b-3)(2b+3)}$

Раскроем скобки и упростим выражение в числителе:

$\frac{4b^2 - 6b + 10b + 15 - 4b^2 - 9}{(2b-3)(2b+3)}$

Приведем подобные слагаемые:

$\frac{(4b^2 - 4b^2) + (-6b + 10b) + (15 - 9)}{(2b-3)(2b+3)} = \frac{4b+6}{(2b-3)(2b+3)}$

В числителе вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\frac{2(2b+3)}{(2b-3)(2b+3)}$

Сократим дробь на общий множитель $(2b+3)$:

$\frac{2}{2b-3}$

Ответ: $\frac{2}{2b-3}$

б)

Для сложения и вычитания дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Сначала разложим знаменатели на множители.

Знаменатель первой дроби: $ac+2bc-6ab-3a^2$. Сгруппируем слагаемые: $(ac+2bc) - (6ab+3a^2) = c(a+2b) - 3a(2b+a) = (a+2b)(c-3a)$.

Знаменатель второй дроби: $a^2+2ab = a(a+2b)$.

Знаменатель третьей дроби: $ac-3a^2 = a(c-3a)$.

Выражение принимает вид:

$\frac{c+6b}{(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b}{a(a+2b)} - \frac{b}{a(c-3a)}$

Наименьший общий знаменатель равен $a(a+2b)(c-3a)$.

Приведем дроби к общему знаменателю, определив дополнительные множители:

Для первой дроби: $a$.

Для второй дроби: $(c-3a)$.

Для третьей дроби: $(a+2b)$.

$\frac{a(c+6b)}{a(a+2b)(c-3a)} + \frac{2b(c-3a)}{a(a+2b)(c-3a)} - \frac{b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Выполним действия с числителями, записав их над общим знаменателем:

$\frac{a(c+6b) + 2b(c-3a) - b(a+2b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{ac + 6ab + 2bc - 6ab - ab - 2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{ac + 2bc - ab - 2b^2}{a(a+2b)(c-3a)}$

Разложим числитель на множители методом группировки:

$ac + 2bc - ab - 2b^2 = (ac+2bc) - (ab+2b^2) = c(a+2b) - b(a+2b) = (a+2b)(c-b)$

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a+2b)(c-b)}{a(a+2b)(c-3a)}$

Сократим дробь на общий множитель $(a+2b)$:

$\frac{c-b}{a(c-3a)}$

Ответ: $\frac{c-b}{a(c-3a)}$