Номер 137, страница 34 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 137, страница 34.

137. Представьте выражение в виде дроби и сократите её:

а) $ (x + 3y) : (x^2 - 9y^2) $

б) $ (a^2 - 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2) $

в) $ (x^2 - 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2) $

г) $ (m - 4n)^2 : (32n^2 - 2m^2) $

а) $(x + 3y) : (x^2 - 9y^2)$

Представим данное выражение в виде дроби:

$(x + 3y) : (x^2 - 9y^2) = \frac{x + 3y}{x^2 - 9y^2}$

Знаменатель $x^2 - 9y^2$ является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для его разложения на множители:

$x^2 - 9y^2 = x^2 - (3y)^2 = (x - 3y)(x + 3y)$

Подставим полученное разложение в знаменатель дроби и выполним сокращение:

$\frac{x + 3y}{(x - 3y)(x + 3y)} = \frac{\cancel{x + 3y}}{(x - 3y)\cancel{(x + 3y)}} = \frac{1}{x - 3y}$

Ответ: $\frac{1}{x - 3y}$

б) $(a^2 - 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2)$

Представим выражение в виде дроби:

$(a^2 - 6ab + 9b^2) : (a^2 - 9b^2) = \frac{a^2 - 6ab + 9b^2}{a^2 - 9b^2}$

Числитель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности. Разложим его по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$

Знаменатель $a^2 - 9b^2$ является разностью квадратов: $a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.

Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $(a - 3b)$:

$\frac{(a - 3b)^2}{(a - 3b)(a + 3b)} = \frac{(a - 3b)\cancel{(a - 3b)}}{\cancel{(a - 3b)}(a + 3b)} = \frac{a - 3b}{a + 3b}$

Ответ: $\frac{a - 3b}{a + 3b}$

в) $(x^2 - 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2)$

Представим выражение в виде дроби:

$(x^2 - 49y^2) : (49y^2 + 14xy + x^2) = \frac{x^2 - 49y^2}{49y^2 + 14xy + x^2}$

Числитель $x^2 - 49y^2$ является разностью квадратов: $x^2 - (7y)^2 = (x - 7y)(x + 7y)$.

Знаменатель $49y^2 + 14xy + x^2$ является полным квадратом суммы. Переставим слагаемые и разложим по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$x^2 + 14xy + 49y^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot (7y) + (7y)^2 = (x + 7y)^2$

Подставим разложения в дробь и сократим на общий множитель $(x + 7y)$:

$\frac{(x - 7y)(x + 7y)}{(x + 7y)^2} = \frac{(x - 7y)\cancel{(x + 7y)}}{(x + 7y)\cancel{(x + 7y)}} = \frac{x - 7y}{x + 7y}$

Ответ: $\frac{x - 7y}{x + 7y}$

г) $(m - 4n)^2 : (32n^2 - 2m^2)$

Представим выражение в виде дроби:

$(m - 4n)^2 : (32n^2 - 2m^2) = \frac{(m - 4n)^2}{32n^2 - 2m^2}$

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель 2:

$32n^2 - 2m^2 = 2(16n^2 - m^2)$

Выражение в скобках $16n^2 - m^2$ является разностью квадратов: $(4n)^2 - m^2 = (4n - m)(4n + m)$.

Таким образом, знаменатель равен $2(4n - m)(4n + m)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь. Заметим, что $(4n - m) = -(m - 4n)$.

$\frac{(m - 4n)^2}{2(4n - m)(4n + m)} = \frac{(m - 4n)^2}{2 \cdot (-(m - 4n)) \cdot (4n + m)} = \frac{(m - 4n)^2}{-2(m - 4n)(m + 4n)}$

Сократим дробь на общий множитель $(m - 4n)$:

$\frac{\cancel{(m - 4n)}(m - 4n)}{-2\cancel{(m - 4n)}(m + 4n)} = \frac{m - 4n}{-2(m + 4n)} = -\frac{m - 4n}{2(m + 4n)}$

Ответ: $-\frac{m - 4n}{2(m + 4n)}$