Номер 138, страница 35 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Деление дробей. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 138, страница 35.

138. Выполните деление:

а) $ \frac{m^2 - 3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x}; $

б) $ \frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab - b^2}; $

в) $ \frac{x^2 + x^3}{11a^2} : \frac{4 + 4x}{a^3}; $

г) $ \frac{6ax}{m^2 - 2m} : \frac{8ax}{3m - 6}; $

д) $ \frac{a^2 - 3ab}{3b} : (7a - 21b); $

е) $ (x^2 - 4y^2) : \frac{5x - 10y}{x}; $

ж) $ (2a - b)^2 : \frac{4a^3 - ab^2}{3}; $

з) $ (10m - 15n) : \frac{(2m - 3n)^2}{2m}. $

а) Чтобы выполнить деление алгебраических дробей, необходимо первую дробь умножить на дробь, обратную второй. Затем, по возможности, разложить числители и знаменатели на множители и сократить общие множители.

$\frac{m^2-3m}{8x^2} : \frac{3m}{8x} = \frac{m^2-3m}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Вынесем общий множитель $m$ в числителе первой дроби:

$\frac{m(m-3)}{8x^2} \cdot \frac{8x}{3m}$

Сократим общие множители $m$, $8$ и $x$:

$\frac{\cancel{m}(m-3)}{\cancel{8}x^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{8}\cancel{x}}{3\cancel{m}} = \frac{m-3}{3x}$

Ответ: $\frac{m-3}{3x}$

б) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $b$ за скобки.

$\frac{5a^2}{6b^3} : \frac{a^3}{ab-b^2} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{ab-b^2}{a^3} = \frac{5a^2}{6b^3} \cdot \frac{b(a-b)}{a^3}$

Сократим общие множители $a^2$ и $b$:

$\frac{5\cancel{a^2}}{6b^{\cancel{3}2}} \cdot \frac{\cancel{b}(a-b)}{\cancel{a^3}a} = \frac{5(a-b)}{6ab^2}$

Ответ: $\frac{5(a-b)}{6ab^2}$

в) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{x^2+x^3}{11a^2} : \frac{4+4x}{a^3} = \frac{x^2(1+x)}{11a^2} \cdot \frac{a^3}{4(1+x)}$

Сократим общие множители $(1+x)$ и $a^2$:

$\frac{x^2\cancel{(1+x)}}{11\cancel{a^2}} \cdot \frac{\cancel{a^3}a}{4\cancel{(1+x)}} = \frac{x^2 \cdot a}{11 \cdot 4} = \frac{ax^2}{44}$

Ответ: $\frac{ax^2}{44}$

г) Умножим первую дробь на дробь, обратную второй. Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй.

$\frac{6ax}{m^2-2m} : \frac{8ax}{3m-6} = \frac{6ax}{m(m-2)} \cdot \frac{3(m-2)}{8ax}$

Сократим общие множители $ax$, $(m-2)$, а также числовые коэффициенты 6 и 8 (на 2):

$\frac{\cancel{6}^3 \cancel{ax}}{m\cancel{(m-2)}} \cdot \frac{3\cancel{(m-2)}}{\cancel{8}^4 \cancel{ax}} = \frac{3 \cdot 3}{m \cdot 4} = \frac{9}{4m}$

Ответ: $\frac{9}{4m}$

д) Представим выражение $(7a-21b)$ в виде дроби со знаменателем 1. Затем заменим деление на умножение на обратную дробь.

$\frac{a^2-3ab}{3b} : (7a-21b) = \frac{a^2-3ab}{3b} : \frac{7a-21b}{1} = \frac{a^2-3ab}{3b} \cdot \frac{1}{7a-21b}$

Разложим на множители числитель первой дроби и знаменатель второй:

$\frac{a(a-3b)}{3b} \cdot \frac{1}{7(a-3b)}$

Сократим общий множитель $(a-3b)$:

$\frac{a\cancel{(a-3b)}}{3b} \cdot \frac{1}{7\cancel{(a-3b)}} = \frac{a}{21b}$

Ответ: $\frac{a}{21b}$

е) Представим выражение $(x^2-4y^2)$ в виде дроби со знаменателем 1. Заменим деление на умножение на обратную дробь.

$(x^2-4y^2) : \frac{5x-10y}{x} = \frac{x^2-4y^2}{1} \cdot \frac{x}{5x-10y}$

Разложим на множители числитель первой дроби по формуле разности квадратов, а знаменатель второй дроби вынесением общего множителя:

$\frac{(x-2y)(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5(x-2y)}$

Сократим общий множитель $(x-2y)$:

$\frac{\cancel{(x-2y)}(x+2y)}{1} \cdot \frac{x}{5\cancel{(x-2y)}} = \frac{x(x+2y)}{5}$

Ответ: $\frac{x(x+2y)}{5}$

ж) Представим выражение $(2a-b)^2$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь.

$(2a-b)^2 : \frac{4a^3-ab^2}{3} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{4a^3-ab^2}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители (вынесение $a$ и формула разности квадратов):

$\frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(4a^2-b^2)} = \frac{(2a-b)^2}{1} \cdot \frac{3}{a(2a-b)(2a+b)}$

Сократим общий множитель $(2a-b)$:

$\frac{(2a-b)^{\cancel{2}}}{1} \cdot \frac{3}{a\cancel{(2a-b)}(2a+b)} = \frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

Ответ: $\frac{3(2a-b)}{a(2a+b)}$

з) Представим выражение $(10m-15n)$ в виде дроби со знаменателем 1 и заменим деление умножением на обратную дробь.

$(10m-15n) : \frac{(2m-3n)^2}{2m} = \frac{10m-15n}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Вынесем общий множитель в первом числителе:

$\frac{5(2m-3n)}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^2}$

Сократим общий множитель $(2m-3n)$:

$\frac{5\cancel{(2m-3n)}}{1} \cdot \frac{2m}{(2m-3n)^{\cancel{2}}} = \frac{5 \cdot 2m}{2m-3n} = \frac{10m}{2m-3n}$

Ответ: $\frac{10m}{2m-3n}$