Номер 127, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 127, страница 32.

127. Упростите выражение:

а) $\frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10};$

б) $\frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a};$

в) $\frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10};$

г) $\frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4}.$

а) Для упрощения выражения $ \frac{x^2 - 10x + 25}{3x + 12} \cdot \frac{x^2 - 16}{2x - 10} $ необходимо разложить числители и знаменатели на множители.
1. Числитель первой дроби $ x^2 - 10x + 25 $ — это формула квадрата разности: $ (x-5)^2 $.
2. Знаменатель первой дроби $ 3x + 12 $: выносим общий множитель 3 за скобки, получаем $ 3(x+4) $.
3. Числитель второй дроби $ x^2 - 16 $ — это формула разности квадратов: $ (x-4)(x+4) $.
4. Знаменатель второй дроби $ 2x - 10 $: выносим общий множитель 2 за скобки, получаем $ 2(x-5) $.
Теперь подставим полученные выражения в исходное:
$ \frac{(x-5)^2}{3(x+4)} \cdot \frac{(x-4)(x+4)}{2(x-5)} $
Сокращаем общие множители в числителе и знаменателе. Множитель $ (x-5) $ в числителе и знаменателе, а также множитель $ (x+4) $ в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(x+4)}} \cdot \frac{(x-4)\cancel{(x+4)}}{2\cancel{(x-5)}} = \frac{(x-5)(x-4)}{3 \cdot 2} = \frac{(x-5)(x-4)}{6} $
Ответ: $ \frac{(x-5)(x-4)}{6} $.

б) Упростим выражение $ \frac{1 - a^2}{4a + 8b} \cdot \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{3 - 3a} $. Разложим на множители:
1. $ 1 - a^2 = (1-a)(1+a) $ (разность квадратов).
2. $ 4a + 8b = 4(a+2b) $ (вынесение общего множителя).
3. $ a^2 + 4ab + 4b^2 = (a+2b)^2 $ (квадрат суммы).
4. $ 3 - 3a = 3(1-a) $ (вынесение общего множителя).
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(1-a)(1+a)}{4(a+2b)} \cdot \frac{(a+2b)^2}{3(1-a)} $
Сокращаем общие множители $ (1-a) $ и $ (a+2b) $:
$ \frac{\cancel{(1-a)}(1+a)}{4\cancel{(a+2b)}} \cdot \frac{(a+2b)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(1-a)}} = \frac{(1+a)(a+2b)}{4 \cdot 3} = \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $
Ответ: $ \frac{(1+a)(a+2b)}{12} $.

в) Упростим выражение $ \frac{y^2 - 25}{y^2 + 12y + 36} \cdot \frac{3y + 18}{2y + 10} $. Разложим на множители:
1. $ y^2 - 25 = (y-5)(y+5) $ (разность квадратов).
2. $ y^2 + 12y + 36 = (y+6)^2 $ (квадрат суммы).
3. $ 3y + 18 = 3(y+6) $ (вынесение общего множителя).
4. $ 2y + 10 = 2(y+5) $ (вынесение общего множителя).
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(y-5)(y+5)}{(y+6)^2} \cdot \frac{3(y+6)}{2(y+5)} $
Сокращаем общие множители $ (y+5) $ и $ (y+6) $:
$ \frac{(y-5)\cancel{(y+5)}}{(y+6)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{3\cancel{(y+6)}}{2\cancel{(y+5)}} = \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $
Ответ: $ \frac{3(y-5)}{2(y+6)} $.

г) Упростим выражение $ \frac{b^3 + 8}{18b^2 + 27b} \cdot \frac{2b + 3}{b^2 - 2b + 4} $. Разложим на множители:
1. $ b^3 + 8 = b^3 + 2^3 = (b+2)(b^2-2b+4) $ (сумма кубов).
2. $ 18b^2 + 27b = 9b(2b+3) $ (вынесение общего множителя).
3. Выражение $ 2b+3 $ не раскладывается.
4. Выражение $ b^2 - 2b + 4 $ является неполным квадратом разности и на множители не раскладывается.
Подставим в исходное выражение:
$ \frac{(b+2)(b^2-2b+4)}{9b(2b+3)} \cdot \frac{2b+3}{b^2-2b+4} $
Сокращаем общие множители $ (b^2-2b+4) $ и $ (2b+3) $:
$ \frac{(b+2)\cancel{(b^2-2b+4)}}{9b\cancel{(2b+3)}} \cdot \frac{\cancel{2b+3}}{\cancel{b^2-2b+4}} = \frac{b+2}{9b} $
Ответ: $ \frac{b+2}{9b} $.