Номер 120, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 120, страница 31.

120. Выполните умножение:

а) $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2};$

б) $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2};$

В) $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4);$

Г) $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2).$

а) Для того чтобы выполнить умножение $(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2}$, необходимо разложить на множители выражения в скобках и в знаменателе дроби.
В выражении $(3a - 15b)$ вынесем общий множитель 3 за скобки:
$3a - 15b = 3(a - 5b)$.
Знаменатель $a^2 - 25b^2$ представляет собой разность квадратов, которую можно разложить по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 25b^2 = a^2 - (5b)^2 = (a - 5b)(a + 5b)$.
Теперь подставим полученные выражения в исходный пример и произведем умножение:
$(3a - 15b) \cdot \frac{8}{a^2 - 25b^2} = \frac{3(a - 5b)}{1} \cdot \frac{8}{(a - 5b)(a + 5b)} = \frac{3(a - 5b) \cdot 8}{(a - 5b)(a + 5b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a - 5b)$:
$\frac{3 \cdot 8}{a + 5b} = \frac{24}{a + 5b}$.
Ответ: $\frac{24}{a + 5b}$

б) Чтобы выполнить умножение $(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2}$, разложим на множители выражение $(x^2 - 4)$.
Выражение $x^2 - 4$ является разностью квадратов, поэтому:
$x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
Знаменатель дроби $(x+2)^2$ можно записать как произведение $(x+2)(x+2)$.
Подставим разложенные выражения и выполним умножение:
$(x^2 - 4) \cdot \frac{2x}{(x + 2)^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{1} \cdot \frac{2x}{(x + 2)(x + 2)} = \frac{(x - 2)(x + 2) \cdot 2x}{(x + 2)(x + 2)}$.
Сократим общий множитель $(x+2)$:
$\frac{(x - 2) \cdot 2x}{x + 2} = \frac{2x(x - 2)}{x + 2}$.
Ответ: $\frac{2x(x - 2)}{x + 2}$

в) Рассмотрим выражение $\frac{y}{3y^2 - 12} \cdot (y^2 - 4y + 4)$. Для упрощения разложим на множители знаменатель дроби и выражение в скобках.
В знаменателе $3y^2 - 12$ вынесем общий множитель 3, а затем разложим получившуюся разность квадратов:
$3y^2 - 12 = 3(y^2 - 4) = 3(y - 2)(y + 2)$.
Выражение $y^2 - 4y + 4$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$y^2 - 4y + 4 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 2 + 2^2 = (y - 2)^2$.
Перепишем исходное выражение с разложенными множителями:
$\frac{y}{3(y - 2)(y + 2)} \cdot \frac{(y - 2)^2}{1} = \frac{y \cdot (y-2)(y-2)}{3(y - 2)(y + 2)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(y-2)$:
$\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$.
Ответ: $\frac{y(y - 2)}{3(y + 2)}$

г) В выражении $\frac{2ab}{a^2 - 6ab + 9b^2} \cdot (a^2 - 9b^2)$ разложим на множители знаменатель и второй множитель.
Знаменатель $a^2 - 6ab + 9b^2$ является полным квадратом разности:
$a^2 - 6ab + 9b^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (3b) + (3b)^2 = (a - 3b)^2$.
Второй множитель $a^2 - 9b^2$ является разностью квадратов:
$a^2 - 9b^2 = a^2 - (3b)^2 = (a - 3b)(a + 3b)$.
Теперь выполним умножение, подставив разложенные выражения:
$\frac{2ab}{(a - 3b)^2} \cdot \frac{(a - 3b)(a + 3b)}{1} = \frac{2ab \cdot (a - 3b)(a + 3b)}{(a - 3b)(a - 3b)}$.
Сократим дробь на общий множитель $(a-3b)$:
$\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$.
Ответ: $\frac{2ab(a + 3b)}{a - 3b}$