Номер 125, страница 32 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 125, страница 32.

125. Выполните умножение:

а) $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a} \cdot \frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2} $

б) $ \frac{bx + 3b}{x^2 - 25} \cdot \frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a} $

а) Чтобы выполнить умножение дробей, необходимо разложить на множители числители и знаменатели каждой дроби, а затем сократить общие множители.

Исходное выражение: $ \frac{a^2 - b^2}{a^2 - 3a} \cdot \frac{2a - 6}{b^2 + 2ab + a^2} $.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$a^2 - 3a = a(a - 3)$.

3. Разложим на множители числитель второй дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$2a - 6 = 2(a - 3)$.

4. Разложим на множители знаменатель второй дроби, используя формулу квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$ (предварительно поменяв слагаемые местами):
$b^2 + 2ab + a^2 = a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

Теперь подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{(a - b)(a + b)}{a(a - 3)} \cdot \frac{2(a - 3)}{(a + b)^2} $

Произведем умножение и сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Сокращаем $(a-3)$ и одну степень $(a+b)$:

$ \frac{(a - b)\cancel{(a + b)} \cdot 2\cancel{(a - 3)}}{a\cancel{(a - 3)} \cdot (a + b)^{\cancel{2}}} = \frac{(a-b) \cdot 2}{a \cdot (a+b)} = \frac{2(a - b)}{a(a + b)} $

Ответ: $ \frac{2(a - b)}{a(a + b)} $.

б) Выполним умножение, действуя по тому же алгоритму: разложение на множители и сокращение.

Исходное выражение: $ \frac{bx + 3b}{x^2 - 25} \cdot \frac{25 - 10x + x^2}{ax + 3a} $.

1. Разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $b$ за скобки:
$bx + 3b = b(x + 3)$.

2. Разложим на множители знаменатель первой дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x - 5)(x + 5)$.

3. Разложим на множители числитель второй дроби, используя формулу квадрата разности $y^2 - 2xy + x^2 = (y - x)^2$ (или $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$):
$25 - 10x + x^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot x + x^2 = (5 - x)^2$. Так как $(5 - x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2$, для удобства сокращения будем использовать запись $(x-5)^2$.

4. Разложим на множители знаменатель второй дроби, вынеся общий множитель $a$ за скобки:
$ax + 3a = a(x + 3)$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение:

$ \frac{b(x + 3)}{(x - 5)(x + 5)} \cdot \frac{(x - 5)^2}{a(x + 3)} $

Произведем умножение и сократим одинаковые множители $(x+3)$ и одну степень $(x-5)$:

$ \frac{b\cancel{(x + 3)} \cdot (x - 5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x - 5)}(x + 5) \cdot a\cancel{(x + 3)}} = \frac{b(x - 5)}{a(x + 5)} $

Ответ: $ \frac{b(x - 5)}{a(x + 5)} $.