Номер 113, страница 31 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 113, страница 31.

113. Выполните умножение:

а) $ -\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} $;

б) $ \frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot \left(-\frac{7a^2b}{6m}\right) $;

в) $ \frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n $;

г) $ -ab \cdot \left(-\frac{11x^2}{3a^2b^2}\right) $.

а) Для умножения дробей $-\frac{10x^2y^2}{9a^2}$ и $\frac{27a^3}{5xy}$ перемножим их числители и знаменатели. Знак минус сохраняется перед всем выражением. $-\frac{10x^2y^2}{9a^2} \cdot \frac{27a^3}{5xy} = -\frac{10x^2y^2 \cdot 27a^3}{9a^2 \cdot 5xy}$. Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные, а затем сократим дробь: $-\frac{(10 \cdot 27) \cdot (x^2y^2a^3)}{(9 \cdot 5) \cdot (a^2xy)} = -\frac{2 \cdot \cancel{5} \cdot 3 \cdot \cancel{9} \cdot x^2y^2a^3}{\cancel{9} \cdot \cancel{5} \cdot a^2xy} = -6 \frac{x^2y^2a^3}{a^2xy}$. Теперь сократим переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{k^m}{k^n} = k^{m-n}$): $\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$; $\frac{y^2}{y} = y^{2-1} = y$; $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-1} = a$. В результате получаем: $-6axy$.
Ответ: $-6axy$.

б) Для умножения $\frac{2m^3}{35a^3b^2}$ на $(-\frac{7a^2b}{6m})$ перемножим дроби. Так как один из множителей отрицательный, произведение будет отрицательным. $\frac{2m^3}{35a^3b^2} \cdot (-\frac{7a^2b}{6m}) = -\frac{2m^3 \cdot 7a^2b}{35a^3b^2 \cdot 6m} = -\frac{(2 \cdot 7) \cdot (m^3a^2b)}{(35 \cdot 6) \cdot (a^3b^2m)}$. Сократим числовые коэффициенты: $2$ и $6$ на $2$ (получаем $1$ и $3$), $7$ и $35$ на $7$ (получаем $1$ и $5$). $-\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{7} \cdot m^3a^2b}{(\cancel{7} \cdot 5) \cdot a^3b^2 \cdot (\cancel{2} \cdot 3) \cdot m} = -\frac{m^3a^2b}{15a^3b^2m}$. Сократим переменные: $\frac{m^3}{m} = m^{3-1} = m^2$; $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$; $\frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$. Переменная $m^2$ остается в числителе, а $a$ и $b$ — в знаменателе.
Ответ: $-\frac{m^2}{15ab}$.

в) Для умножения дроби $\frac{13x}{12mn^2}$ на одночлен $4m^2n$ представим одночлен в виде дроби $\frac{4m^2n}{1}$. $\frac{13x}{12mn^2} \cdot 4m^2n = \frac{13x}{12mn^2} \cdot \frac{4m^2n}{1} = \frac{13x \cdot 4m^2n}{12mn^2}$. Сократим числовые коэффициенты $4$ и $12$ на $4$: $\frac{13x \cdot \cancel{4}m^2n}{\cancel{12}_3mn^2} = \frac{13xm^2n}{3mn^2}$. Сократим переменные: $\frac{m^2}{m} = m$; $\frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$. Собираем итоговое выражение.
Ответ: $\frac{13mx}{3n}$.

г) Для умножения $-ab$ на $(-\frac{11x^2}{3a^2b^2})$ заметим, что произведение двух отрицательных выражений положительно. $-ab \cdot (-\frac{11x^2}{3a^2b^2}) = ab \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2}$. Представим $ab$ как дробь $\frac{ab}{1}$ и перемножим: $\frac{ab}{1} \cdot \frac{11x^2}{3a^2b^2} = \frac{ab \cdot 11x^2}{3a^2b^2} = \frac{11abx^2}{3a^2b^2}$. Числовые коэффициенты $11$ и $3$ взаимно простые и не сокращаются. Сократим переменные: $\frac{a}{a^2} = \frac{1}{a}$; $\frac{b}{b^2} = \frac{1}{b}$. Переменная $x^2$ остается в числителе.
Ответ: $\frac{11x^2}{3ab}$.