Номер 110, страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень. § 3. Произведение и частное дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 110, страница 30.

110. Выполните умножение:

а) $\frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a}$;

б) $\frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2}$;

в) $\frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5}$;

г) $\frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2}$.

а) $ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} $
Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Результат записать в виде новой дроби.
$ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} = \frac{12 \cdot x^3}{5x \cdot 12a} $
Далее необходимо сократить полученную дробь. Сократим общий множитель 12 в числителе и знаменателе.
$ \frac{\cancel{12} \cdot x^3}{5x \cdot \cancel{12}a} = \frac{x^3}{5xa} $
Теперь сократим переменную $x$. Используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получим:
$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{x^2}{5a} $
Ответ: $ \frac{x^2}{5a} $

б) $ \frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2} $
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$ \frac{8c^2 \cdot 1}{15m \cdot 4c^2} = \frac{8c^2}{15m \cdot 4c^2} $
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Можно сократить $c^2$:
$ \frac{8\cancel{c^2}}{15m \cdot 4\cancel{c^2}} = \frac{8}{15m \cdot 4} $
Также можно сократить числовые коэффициенты 8 и 4 на 4:
$ \frac{\cancel{8}^2}{15m \cdot \cancel{4}_1} = \frac{2}{15m} $
Другой способ — сначала перемножить числа в знаменателе, а потом сократить:
$ \frac{8c^2}{60mc^2} $
Сокращаем $c^2$: $ \frac{8}{60m} $. Сокращаем дробь $ \frac{8}{60} $ на 4: $ \frac{2}{15m} $.
Ответ: $ \frac{2}{15m} $

в) $ \frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5} $
Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
$ \frac{11a^4 \cdot 12b}{6 \cdot a^5} $
Сократим числовые коэффициенты. $ \frac{12}{6} = 2 $:
$ \frac{11a^4 \cdot \cancel{12}^2b}{\cancel{6}_1 \cdot a^5} = \frac{11a^4 \cdot 2b}{a^5} = \frac{22a^4b}{a^5} $
Теперь сократим степени переменной $a$. Используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} $ для $ n > m $:
$ \frac{a^4}{a^5} = \frac{1}{a^{5-4}} = \frac{1}{a} $
Подставляем в выражение и получаем окончательный ответ:
$ \frac{22b}{a} $
Ответ: $ \frac{22b}{a} $

г) $ \frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2} $
Перемножаем дроби:
$ \frac{4n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot 2} $
Выполним сокращение "крест-накрест" и "по вертикали".
Сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:
$ \frac{\cancel{4}^2n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot \cancel{2}_1} = \frac{2n^2 \cdot 9m}{3m^2} $
Сократим 9 в числителе и 3 в знаменателе на 3:
$ \frac{2n^2 \cdot \cancel{9}^3m}{\cancel{3}_1m^2} = \frac{2n^2 \cdot 3m}{m^2} $
Сократим степени переменной $m$: $ \frac{m}{m^2} = \frac{1}{m} $.
$ \frac{2n^2 \cdot 3\cancel{m}}{m^{\cancel{2}}} = \frac{6n^2}{m} $
Результат умножения:
$ \frac{6n^2}{m} $
Ответ: $ \frac{6n^2}{m} $