Страница 30 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

109. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{3x}{4y} \cdot \frac{10}{3x^2} $;

б) $ \frac{2,5}{2a^2} \cdot \frac{4a^3}{5b^2} $;

в) $ \frac{7a^3}{24b} \cdot 8b^2 $;

г) $ 14ab \cdot \frac{1}{21b^3} $.

а)

Для того чтобы умножить две дроби, необходимо перемножить их числители и знаменатели соответственно, а затем, по возможности, сократить получившуюся дробь.

$\frac{3x}{4y} \cdot \frac{10}{3x^2} = \frac{3x \cdot 10}{4y \cdot 3x^2}$

Объединим числовые коэффициенты и переменные:

$\frac{3 \cdot 10 \cdot x}{4 \cdot 3 \cdot y \cdot x^2} = \frac{30x}{12yx^2}$

Теперь сократим дробь. Числовой коэффициент $\frac{30}{12}$ можно сократить на 6, получив $\frac{5}{2}$. Переменные $\frac{x}{x^2}$ можно сократить на $x$, получив $\frac{1}{x}$.

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{2} \cdot 5 \cdot \cancel{x}}{\cancel{2} \cdot 2 \cdot y \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{x} \cdot x} = \frac{5}{2yx}$

Ответ: $\frac{5}{2xy}$

б)

Перемножим числители и знаменатели данных дробей:

$\frac{2,5}{2a^2} \cdot \frac{4a^3}{5b^2} = \frac{2,5 \cdot 4a^3}{2a^2 \cdot 5b^2}$

Выполним умножение в числителе и знаменателе:

В числителе: $2,5 \cdot 4 = 10$.

В знаменателе: $2 \cdot 5 = 10$.

Получаем: $\frac{10a^3}{10a^2b^2}$

Сократим числовые коэффициенты $\frac{10}{10} = 1$. Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$.

$\frac{\cancel{10} \cdot a}{\cancel{10} \cdot b^2} = \frac{a}{b^2}$

Ответ: $\frac{a}{b^2}$

в)

Представим множитель $8b^2$ в виде дроби со знаменателем 1: $8b^2 = \frac{8b^2}{1}$.

Теперь выполним умножение дробей:

$\frac{7a^3}{24b} \cdot \frac{8b^2}{1} = \frac{7a^3 \cdot 8b^2}{24b}$

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{8}{24}$ можно сократить на 8, получив $\frac{1}{3}$.

Сократим переменные: $\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b$.

$\frac{7a^3 \cdot \cancel{8} \cdot b \cdot \cancel{b}}{3 \cdot \cancel{8} \cdot \cancel{b}} = \frac{7a^3b}{3}$

Ответ: $\frac{7a^3b}{3}$

г)

Представим множитель $14ab$ в виде дроби $\frac{14ab}{1}$ и выполним умножение:

$14ab \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{1} \cdot \frac{1}{21b^3} = \frac{14ab}{21b^3}$

Сократим получившуюся дробь. Числовые коэффициенты $\frac{14}{21}$ можно сократить на 7, получив $\frac{2}{3}$.

Сократим переменные: $\frac{b}{b^3} = \frac{1}{b^{3-1}} = \frac{1}{b^2}$.

$\frac{2 \cdot \cancel{7} \cdot a \cdot \cancel{b}}{3 \cdot \cancel{7} \cdot b^2 \cdot \cancel{b}} = \frac{2a}{3b^2}$

Ответ: $\frac{2a}{3b^2}$

111. Преобразуйте в дробь выражение:

а) $15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3}$;

б) $\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2$;

в) $6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3}$;

г) $\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2$.

а) Чтобы преобразовать выражение $15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3}$ в дробь, необходимо представить множитель $15x^2$ в виде дроби со знаменателем 1 и затем выполнить умножение дробей. Числитель умножается на числитель, а знаменатель на знаменатель.

$15x^2 \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2}{1} \cdot \frac{7}{6x^3} = \frac{15x^2 \cdot 7}{1 \cdot 6x^3} = \frac{105x^2}{6x^3}$

Теперь сократим полученную дробь. Для этого найдем общие делители для числителя и знаменателя.

Числовые коэффициенты 105 и 6 делятся на 3: $105 \div 3 = 35$, $6 \div 3 = 2$.

Степени переменной $x$ сокращаются по правилу $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. В нашем случае $\frac{x^2}{x^3} = x^{2-3} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.

Выполним сокращение:

$\frac{105x^2}{6x^3} = \frac{3 \cdot 35 \cdot x^2}{3 \cdot 2 \cdot x^2 \cdot x} = \frac{35}{2x}$

Ответ: $\frac{35}{2x}$

б) Для преобразования выражения $\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2$ в дробь, представим множитель $2y^2$ как дробь $\frac{2y^2}{1}$ и перемножим дроби.

$\frac{25}{16y^2} \cdot 2y^2 = \frac{25}{16y^2} \cdot \frac{2y^2}{1} = \frac{25 \cdot 2y^2}{16y^2}$

Теперь сократим полученную дробь. Можно сократить одинаковые множители $y^2$ в числителе и знаменателе.

$\frac{25 \cdot 2 \cdot y^2}{16 \cdot y^2} = \frac{50}{16}$

Сократим числовую дробь $\frac{50}{16}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2.

$\frac{50 \div 2}{16 \div 2} = \frac{25}{8}$

Ответ: $\frac{25}{8}$

в) Чтобы преобразовать выражение $6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3}$ в дробь, представим $6am^2$ как дробь $\frac{6am^2}{1}$ и выполним умножение.

$6am^2 \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2}{1} \cdot \frac{4a}{3m^3} = \frac{6am^2 \cdot 4a}{3m^3} = \frac{24a \cdot a \cdot m^2}{3m^3} = \frac{24a^2m^2}{3m^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{24}{3} = 8$.

Сократим степени переменной $m$: $\frac{m^2}{m^3} = \frac{1}{m}$.

Переменная $a^2$ остается в числителе. Объединяем все части:

$\frac{24a^2m^2}{3m^3} = \frac{3 \cdot 8 \cdot a^2 \cdot m^2}{3 \cdot m^2 \cdot m} = \frac{8a^2}{m}$

Ответ: $\frac{8a^2}{m}$

г) Для преобразования выражения $\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2$ в дробь, представим $10a^2$ как дробь $\frac{10a^2}{1}$ и перемножим их.

$\frac{2b}{5a^3} \cdot 10a^2 = \frac{2b}{5a^3} \cdot \frac{10a^2}{1} = \frac{2b \cdot 10a^2}{5a^3} = \frac{20ba^2}{5a^3}$

Сократим полученную дробь. Сократим числовые коэффициенты: $\frac{20}{5} = 4$.

Сократим степени переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = \frac{1}{a}$.

Переменная $b$ остается в числителе. Собираем всё вместе:

$\frac{20ba^2}{5a^3} = \frac{4 \cdot 5 \cdot b \cdot a^2}{5 \cdot a^2 \cdot a} = \frac{4b}{a}$

Ответ: $\frac{4b}{a}$

108. Выполните умножение:

а) $ \frac{5}{3a} \cdot \frac{2b}{3} $

б) $ \frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} $

В) $ \frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b} $

Г) $ \frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24} $

а) Для умножения двух алгебраических дробей необходимо умножить их числители и знаменатели. $ \frac{5}{3a} \cdot \frac{2b}{3} = \frac{5 \cdot 2b}{3a \cdot 3} $ Выполняем умножение в числителе и в знаменателе: $ \frac{10b}{9a} $ Так как у числителя и знаменателя нет общих множителей, дробь является несократимой.
Ответ: $ \frac{10b}{9a} $.

б) Умножаем числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй: $ \frac{5a}{8y} \cdot \frac{7}{10} = \frac{5a \cdot 7}{8y \cdot 10} = \frac{35a}{80y} $ Теперь сократим полученную дробь. Числовые коэффициенты 35 и 80 имеют общий делитель 5 ($35 = 5 \cdot 7$, $80 = 5 \cdot 16$). $ \frac{35a}{80y} = \frac{5 \cdot 7a}{5 \cdot 16y} = \frac{7a}{16y} $
Ответ: $ \frac{7a}{16y} $.

в) Выполним умножение дробей: $ \frac{b^2}{10} \cdot \frac{5}{b} = \frac{b^2 \cdot 5}{10 \cdot b} = \frac{5b^2}{10b} $ Сократим дробь. Числовые коэффициенты 5 и 10 сокращаются на 5. Степени переменной $b$ ($b^2$ и $b$) сокращаются на $b$. $ \frac{5b^2}{10b} = \frac{5 \cdot b \cdot b}{2 \cdot 5 \cdot b} = \frac{b}{2} $
Ответ: $ \frac{b}{2} $.

г) Выполним умножение дробей, перемножив их числители и знаменатели: $ \frac{18}{c^4} \cdot \frac{c^3}{24} = \frac{18 \cdot c^3}{c^4 \cdot 24} = \frac{18c^3}{24c^4} $ Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 18 и 24 равен 6. Степени переменной $c$ ($c^3$ и $c^4$) можно сократить на $c^3$. $ \frac{18c^3}{24c^4} = \frac{3 \cdot 6 \cdot c^3}{4 \cdot 6 \cdot c^3 \cdot c} = \frac{3}{4c} $
Ответ: $ \frac{3}{4c} $.

110. Выполните умножение:

а) $\frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a}$;

б) $\frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2}$;

в) $\frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5}$;

г) $\frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2}$.

а) $ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} $
Чтобы умножить две алгебраические дроби, необходимо перемножить их числители и их знаменатели. Результат записать в виде новой дроби.
$ \frac{12}{5x} \cdot \frac{x^3}{12a} = \frac{12 \cdot x^3}{5x \cdot 12a} $
Далее необходимо сократить полученную дробь. Сократим общий множитель 12 в числителе и знаменателе.
$ \frac{\cancel{12} \cdot x^3}{5x \cdot \cancel{12}a} = \frac{x^3}{5xa} $
Теперь сократим переменную $x$. Используя свойство степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $, получим:
$ \frac{x^3}{x} = x^{3-1} = x^2 $
Таким образом, итоговое выражение:
$ \frac{x^2}{5a} $
Ответ: $ \frac{x^2}{5a} $

б) $ \frac{8c^2}{15m} \cdot \frac{1}{4c^2} $
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$ \frac{8c^2 \cdot 1}{15m \cdot 4c^2} = \frac{8c^2}{15m \cdot 4c^2} $
Сократим общие множители в числителе и знаменателе. Можно сократить $c^2$:
$ \frac{8\cancel{c^2}}{15m \cdot 4\cancel{c^2}} = \frac{8}{15m \cdot 4} $
Также можно сократить числовые коэффициенты 8 и 4 на 4:
$ \frac{\cancel{8}^2}{15m \cdot \cancel{4}_1} = \frac{2}{15m} $
Другой способ — сначала перемножить числа в знаменателе, а потом сократить:
$ \frac{8c^2}{60mc^2} $
Сокращаем $c^2$: $ \frac{8}{60m} $. Сокращаем дробь $ \frac{8}{60} $ на 4: $ \frac{2}{15m} $.
Ответ: $ \frac{2}{15m} $

в) $ \frac{11a^4}{6} \cdot \frac{12b}{a^5} $
Умножим числитель на числитель и знаменатель на знаменатель:
$ \frac{11a^4 \cdot 12b}{6 \cdot a^5} $
Сократим числовые коэффициенты. $ \frac{12}{6} = 2 $:
$ \frac{11a^4 \cdot \cancel{12}^2b}{\cancel{6}_1 \cdot a^5} = \frac{11a^4 \cdot 2b}{a^5} = \frac{22a^4b}{a^5} $
Теперь сократим степени переменной $a$. Используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = \frac{1}{a^{n-m}} $ для $ n > m $:
$ \frac{a^4}{a^5} = \frac{1}{a^{5-4}} = \frac{1}{a} $
Подставляем в выражение и получаем окончательный ответ:
$ \frac{22b}{a} $
Ответ: $ \frac{22b}{a} $

г) $ \frac{4n^2}{3m^2} \cdot \frac{9m}{2} $
Перемножаем дроби:
$ \frac{4n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot 2} $
Выполним сокращение "крест-накрест" и "по вертикали".
Сократим 4 в числителе и 2 в знаменателе на 2:
$ \frac{\cancel{4}^2n^2 \cdot 9m}{3m^2 \cdot \cancel{2}_1} = \frac{2n^2 \cdot 9m}{3m^2} $
Сократим 9 в числителе и 3 в знаменателе на 3:
$ \frac{2n^2 \cdot \cancel{9}^3m}{\cancel{3}_1m^2} = \frac{2n^2 \cdot 3m}{m^2} $
Сократим степени переменной $m$: $ \frac{m}{m^2} = \frac{1}{m} $.
$ \frac{2n^2 \cdot 3\cancel{m}}{m^{\cancel{2}}} = \frac{6n^2}{m} $
Результат умножения:
$ \frac{6n^2}{m} $
Ответ: $ \frac{6n^2}{m} $

112. Упростите выражение:

а) $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3};$

б) $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2};$

в) $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right);$

г) $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy};$

а) $\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3}$
Чтобы упростить данное выражение, необходимо перемножить числители и знаменатели дробей, а затем провести сокращение.
$\frac{48x^5}{49y^4} \cdot \frac{7y^2}{16x^3} = \frac{48 \cdot 7 \cdot x^5 \cdot y^2}{49 \cdot 16 \cdot y^4 \cdot x^3}$
Сгруппируем числовые коэффициенты и переменные отдельно для удобства сокращения:
$(\frac{48 \cdot 7}{49 \cdot 16}) \cdot (\frac{x^5}{x^3}) \cdot (\frac{y^2}{y^4})$
Сократим числовые коэффициенты: 48 и 16 делятся на 16 ($48/16 = 3$), а 49 и 7 делятся на 7 ($7/49 = 1/7$).
$\frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$
Сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{x^5}{x^3} = x^{5-3} = x^2$
$\frac{y^2}{y^4} = y^{2-4} = y^{-2} = \frac{1}{y^2}$
Теперь объединим полученные результаты:
$\frac{3}{7} \cdot x^2 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3x^2}{7y^2}$
Ответ: $\frac{3x^2}{7y^2}$

б) $\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2}$
Перемножим числители и знаменатели дробей:
$\frac{18m^3}{11n^3} \cdot \frac{22n^4}{9m^2} = \frac{18 \cdot 22 \cdot m^3 \cdot n^4}{11 \cdot 9 \cdot n^3 \cdot m^2}$
Сгруппируем и сократим коэффициенты и переменные:
$(\frac{18 \cdot 22}{11 \cdot 9}) \cdot (\frac{m^3}{m^2}) \cdot (\frac{n^4}{n^3})$
Сократим числа: 18 и 9 делятся на 9 ($18/9 = 2$), а 22 и 11 делятся на 11 ($22/11 = 2$).
$2 \cdot 2 = 4$
Сократим переменные:
$\frac{m^3}{m^2} = m^{3-2} = m$
$\frac{n^4}{n^3} = n^{4-3} = n$
Объединим результаты:
$4 \cdot m \cdot n = 4mn$
Ответ: $4mn$

в) $\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \left(-\frac{2,5y^4}{27x^5}\right)$
Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным. Представим $2,5$ как обыкновенную дробь $\frac{5}{2}$.
$-\frac{72x^4}{25y^5} \cdot \frac{5y^4}{2 \cdot 27x^5} = -\frac{72 \cdot 5 \cdot x^4 \cdot y^4}{25 \cdot 2 \cdot 27 \cdot y^5 \cdot x^5}$
Сгруппируем и сократим:
$-(\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 2 \cdot 27}) \cdot (\frac{x^4}{x^5}) \cdot (\frac{y^4}{y^5})$
Сократим коэффициенты: 72 и 27 делятся на 9 ($72/9=8, 27/9=3$), 5 и 25 делятся на 5 ($5/25=1/5$), 8 и 2 делятся на 2 ($8/2=4$).
$-(\frac{8 \cdot 5}{25 \cdot 2 \cdot 27}) = -(\frac{(8/2) \cdot (5/5)}{(25/5) \cdot (2/2) \cdot 27}) \cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{1} = -(\frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot 27}) = -(\frac{4 \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot (3 \cdot 9)}) \rightarrow$ Ошибка в рассуждении. Правильно так: $-(\frac{72 \cdot 5}{25 \cdot 54}) = -(\frac{8 \cdot 9 \cdot 5}{5 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 9}) = -(\frac{8}{30}) = -\frac{4}{15}$.
Сократим переменные:
$\frac{x^4}{x^5} = x^{4-5} = x^{-1} = \frac{1}{x}$
$\frac{y^4}{y^5} = y^{4-5} = y^{-1} = \frac{1}{y}$
Объединим результаты:
$-\frac{4}{15} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{y} = -\frac{4}{15xy}$
Ответ: $-\frac{4}{15xy}$

г) $-\frac{35ax^2}{12b^2y} \cdot \frac{8ab}{21xy}$
Результат умножения будет отрицательным. Перемножим дроби:
$-\frac{35 \cdot 8 \cdot a \cdot x^2 \cdot a \cdot b}{12 \cdot 21 \cdot b^2 \cdot y \cdot x \cdot y}$
Сгруппируем и сократим:
$-(\frac{35 \cdot 8}{12 \cdot 21}) \cdot (\frac{a \cdot a}{1}) \cdot (\frac{b}{b^2}) \cdot (\frac{x^2}{x}) \cdot (\frac{1}{y \cdot y})$
Сократим коэффициенты: 35 и 21 делятся на 7 ($35/7=5, 21/7=3$), 8 и 12 делятся на 4 ($8/4=2, 12/4=3$).
$-(\frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 3}) = -\frac{10}{9}$
Сократим переменные:
$a \cdot a = a^2$
$\frac{b}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$
$\frac{x^2}{x} = x^{2-1} = x$
$\frac{1}{y \cdot y} = \frac{1}{y^2}$
Объединим результаты:
$-\frac{10}{9} \cdot a^2 \cdot \frac{1}{b} \cdot x \cdot \frac{1}{y^2} = -\frac{10a^2x}{9by^2}$
Ответ: $-\frac{10a^2x}{9by^2}$