Страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

102. Докажите тождество

$\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$

Используя это тождество, упростите выражение

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

Докажите тождество

Для доказательства тождества $\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x+n}$ и $\frac{1}{x+n+1}$ равен $(x+n)(x+n+1)$.

$\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1 \cdot (x+n+1)}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{1 \cdot (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{(x+n+1) - (x+n)}{(x+n)(x+n+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Используя это тождество, упростите выражение

Рассмотрим выражение: $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

Применим доказанное тождество $\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1}$ к каждому слагаемому суммы.

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ значение $n=1$. Получаем:

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{(x+2)(x+3)}$ значение $n=2$. Получаем:

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

3. Для третьего слагаемого $\frac{1}{(x+3)(x+4)}$ значение $n=3$. Получаем:

$\frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

Теперь подставим полученные разности обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + (\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4})$

Сгруппируем слагаемые и увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}$

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+4)$:

$\frac{1 \cdot (x+4)}{(x+1)(x+4)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-(x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)}$

Ответ: $\frac{3}{(x+1)(x+4)}$

104. Туристы прошли $s$ км по шоссе со скоростью $v$ км/ч и вдвое больший путь по просёлочной дороге. Сколько времени $t$ ч затратили туристы, если известно, что по просёлочной дороге они шли со скоростью, на 2 км/ч меньшей, чем по шоссе? Найдите $t$ при $s = 10$, $v = 6$.

Для нахождения общего времени $t$, затраченного туристами, необходимо найти время движения на каждом из двух участков пути и сложить их. Время рассчитывается по формуле: $время = \frac{расстояние}{скорость}$.

1. Движение по шоссе.
Расстояние, пройденное по шоссе, составляет $s$ км, а скорость движения равна $v$ км/ч. Время, затраченное на этом участке ($t_1$), равно:
$t_1 = \frac{s}{v}$

2. Движение по просёлочной дороге.
Путь по просёлочной дороге был вдвое длиннее, чем по шоссе, то есть его длина равна $2s$ км. Скорость на этом участке была на 2 км/ч меньше, то есть $(v-2)$ км/ч. Время, затраченное на этом участке ($t_2$), равно:
$t_2 = \frac{2s}{v-2}$

3. Общее время в пути.
Общее время $t$ равно сумме времени, затраченного на оба участка:
$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v} + \frac{2s}{v-2}$

Теперь подставим в эту формулу заданные значения $s = 10$ и $v = 6$, чтобы найти искомое время $t$.

$t = \frac{10}{6} + \frac{2 \cdot 10}{6-2}$

Выполним вычисления по действиям:

$t = \frac{10}{6} + \frac{20}{4}$

Сократим первую дробь на 2 и вычислим значение второй дроби:

$t = \frac{5}{3} + 5$

Приведём к общему знаменателю и сложим:

$t = \frac{5}{3} + \frac{15}{3} = \frac{5+15}{3} = \frac{20}{3}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$t = 6\frac{2}{3}$ часа.

Поскольку в одном часе 60 минут, то $\frac{2}{3}$ часа это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут. Таким образом, общее время в пути составило 6 часов 40 минут.

Ответ: $t = 6\frac{2}{3}$ ч.

106. Постройте графики функций $y = -4x + 1$ и $y = 2x - 3$ и найдите координаты точки их пересечения. Ту же задачу решите без построения графиков. Сравните полученные ответы.

Построение графиков и нахождение точки их пересечения

Чтобы построить графики функций, нужно найти координаты как минимум двух точек для каждой прямой.

1. Для функции $y = -4x + 1$ составим таблицу значений:

Отмечаем на координатной плоскости точки $(0; 1)$ и $(1; -3)$ и проводим через них прямую.

2. Для функции $y = 2x - 3$ составим таблицу значений:

На той же координатной плоскости отмечаем точки $(0; -3)$ и $(2; 1)$ и проводим вторую прямую.

Построив обе прямые, находим их точку пересечения. Поскольку координаты точки пересечения не являются целыми числами, графический метод дает лишь приблизительный результат. Визуально точка пересечения имеет координаты примерно $(0.7; -1.7)$.

Ответ: Приблизительные координаты точки пересечения, найденные графически, равны $(0.7; -1.7)$.

Решение задачи без построения графиков

Чтобы найти точные координаты точки пересечения, необходимо решить систему уравнений, так как в точке пересечения значения $x$ и $y$ для обоих графиков совпадают. $$ \begin{cases} y = -4x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений: $-4x + 1 = 2x - 3$

Решим полученное уравнение, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения: $1 + 3 = 2x + 4x$
$4 = 6x$
$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти ординату ($y$). Возьмем второе уравнение $y = 2x - 3$: $y = 2 \cdot \frac{2}{3} - 3 = \frac{4}{3} - 3 = \frac{4}{3} - \frac{9}{3} = -\frac{5}{3}$

Таким образом, точные координаты точки пересечения – $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Ответ: Координаты точки пересечения $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Сравнение полученных ответов

При графическом решении были получены приблизительные координаты $(0.7; -1.7)$. При алгебраическом решении были найдены точные координаты $(\frac{2}{3}; -\frac{5}{3})$.

Для сравнения представим точные координаты в виде десятичных дробей: $x = \frac{2}{3} \approx 0.67$ $y = -\frac{5}{3} \approx -1.67$

Сравнивая результаты, видим, что приближенные значения $(0.7; -1.7)$, полученные с помощью графика, очень близки к точным значениям $(\approx0.67; \approx-1.67)$. Это показывает, что графический метод позволяет получить верную оценку, в то время как алгебраический метод дает точный результат. Таким образом, ответы, полученные двумя способами, согласуются.

101. Учащимся была поставлена задача: «Представить дробь $ \frac{x^2 + 7x - 25}{x - 5} $ в виде суммы целого выражения и дроби». Были получены ответы:

1. $ x + 5 + \frac{7x}{x - 5} $

2. $ x + 12 + \frac{35}{x - 5} $

3. $ -x + \frac{2x - 25}{x - 5} $

4. $ x + \frac{12x - 25}{x - 5} $

Укажите неверный ответ.

Чтобы определить, какой из ответов является неверным, мы должны проверить, является ли каждое из предложенных выражений тождественным исходной дроби $\frac{x^2+7x-25}{x-5}$. Для этого мы приведем каждое выражение к общему знаменателю и сравним получившийся числитель с исходным числителем $x^2+7x-25$.

1. $x + 5 + \frac{7x}{x-5}$

Приводим к общему знаменателю $x-5$:

$x + 5 + \frac{7x}{x-5} = \frac{(x+5)(x-5)}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2 - 25}{x-5} + \frac{7x}{x-5} = \frac{x^2 - 25 + 7x}{x-5} = \frac{x^2 + 7x - 25}{x-5}$.

Полученное выражение совпадает с исходным. Следовательно, это представление верное.

2. $x + 12 + \frac{35}{x-5}$

Приводим к общему знаменателю $x-5$:

$x + 12 + \frac{35}{x-5} = \frac{(x+12)(x-5)}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2 - 5x + 12x - 60}{x-5} + \frac{35}{x-5} = \frac{x^2 + 7x - 60 + 35}{x-5} = \frac{x^2 + 7x - 25}{x-5}$.

Полученное выражение совпадает с исходным. Это представление является верным. (Этот результат получается при делении многочлена $x^2+7x-25$ на $x-5$ "уголком").

3. $-x + \frac{2x-25}{x-5}$

Приводим к общему знаменателю $x-5$:

$-x + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x(x-5)}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2 + 5x}{x-5} + \frac{2x-25}{x-5} = \frac{-x^2 + 5x + 2x - 25}{x-5} = \frac{-x^2 + 7x - 25}{x-5}$.

Полученное выражение $\frac{-x^2 + 7x - 25}{x-5}$ не совпадает с исходной дробью $\frac{x^2 + 7x - 25}{x-5}$. Следовательно, это представление неверное.

4. $x + \frac{12x-25}{x-5}$

Приводим к общему знаменателю $x-5$:

$x + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x(x-5)}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2 - 5x}{x-5} + \frac{12x-25}{x-5} = \frac{x^2 - 5x + 12x - 25}{x-5} = \frac{x^2 + 7x - 25}{x-5}$.

Полученное выражение совпадает с исходным. Это представление является верным.

Проанализировав все варианты, мы установили, что выражения 1, 2 и 4 являются верными представлениями исходной дроби, а выражение 3 — нет.

Ответ: 3.

103. Две речные пристани $A$ и $B$ расположены на расстоянии $s$ км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна $v$ км/ч. Сколько времени $t$ ч потребуется катеру на путь от $A$ до $B$ и обратно, если скорость течения реки равна $5$ км/ч? Найдите $t$ при:

а) $s = 50$, $v = 25$;

б) $s = 105$, $v = 40$.

Для решения задачи нам нужно найти общее время $t$, которое катер затратит на путь от пристани А до пристани В и обратно. Обозначим:

• $s$ — расстояние между пристанями А и В в км.
• $v$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) в км/ч.
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, которая по условию равна 5 км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения. Скорость катера по течению равна:

$v_{по\_теч} = v + v_{теч} = v + 5$ (км/ч)

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Скорость катера против течения равна:

$v_{против\_теч} = v - v_{теч} = v - 5$ (км/ч)

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость. Таким образом, общее время $t$ на путь туда и обратно будет суммой времени движения по течению ($t_1$) и времени движения против течения ($t_2$):

$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_{по\_теч}} + \frac{s}{v_{против\_теч}} = \frac{s}{v+5} + \frac{s}{v-5}$

Теперь подставим конкретные значения из каждого пункта.

a)

По условию: $s = 50$ км, $v = 25$ км/ч.

1. Найдем время движения по течению:

$t_1 = \frac{s}{v+5} = \frac{50}{25+5} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$ ч.

2. Найдем время движения против течения:

$t_2 = \frac{s}{v-5} = \frac{50}{25-5} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ ч.

3. Найдем общее время:

$t = t_1 + t_2 = \frac{5}{3} + \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6}$ ч.

Можно представить этот результат как $4 \frac{1}{6}$ часа, или 4 часа и 10 минут.

Ответ: $t = \frac{25}{6}$ ч.

б)

По условию: $s = 105$ км, $v = 40$ км/ч.

1. Найдем время движения по течению:

$t_1 = \frac{s}{v+5} = \frac{105}{40+5} = \frac{105}{45} = \frac{21 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{21}{9} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{7}{3}$ ч.

2. Найдем время движения против течения:

$t_2 = \frac{s}{v-5} = \frac{105}{40-5} = \frac{105}{35} = 3$ ч.

3. Найдем общее время:

$t = t_1 + t_2 = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Можно представить этот результат как $5 \frac{1}{3}$ часа, или 5 часов и 20 минут.

Ответ: $t = \frac{16}{3}$ ч.

105. Функция задана формулой $y = \frac{2x - 5}{3}$. Найдите значение функции при $x$, равном -2; 0; 16. При каком $x$ значение функции равно 3; 0; -9?

Данная задача состоит из двух частей. В первой части мы найдем значения функции для заданных значений аргумента $x$. Во второй части мы найдем значения аргумента $x$, при которых функция принимает заданные значения.

Исходная формула функции: $y = \frac{2x - 5}{3}$.

Найдем значение функции при x, равном -2

Чтобы найти значение функции, подставим $x = -2$ в заданную формулу:
$y = \frac{2 \cdot (-2) - 5}{3} = \frac{-4 - 5}{3} = \frac{-9}{3} = -3$.
Ответ: -3.

Найдем значение функции при x, равном 0

Подставим $x = 0$ в формулу:
$y = \frac{2 \cdot 0 - 5}{3} = \frac{0 - 5}{3} = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3}$.
Ответ: $-1\frac{2}{3}$.

Найдем значение функции при x, равном 16

Подставим $x = 16$ в формулу:
$y = \frac{2 \cdot 16 - 5}{3} = \frac{32 - 5}{3} = \frac{27}{3} = 9$.
Ответ: 9.

Найдем, при каком x значение функции равно 3

Чтобы найти $x$, подставим $y = 3$ в формулу и решим полученное уравнение:
$3 = \frac{2x - 5}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3:
$9 = 2x - 5$
Перенесем -5 в левую часть с противоположным знаком:
$9 + 5 = 2x$
$14 = 2x$
$x = \frac{14}{2} = 7$.
Ответ: 7.

Найдем, при каком x значение функции равно 0

Подставим $y = 0$ в формулу:
$0 = \frac{2x - 5}{3}$
Если дробь равна нулю, то ее числитель равен нулю:
$2x - 5 = 0$
$2x = 5$
$x = \frac{5}{2} = 2.5$.
Ответ: 2.5.

Найдем, при каком x значение функции равно -9

Подставим $y = -9$ в формулу:
$-9 = \frac{2x - 5}{3}$
Умножим обе части уравнения на 3:
$-27 = 2x - 5$
Перенесем -5 в левую часть с противоположным знаком:
$-27 + 5 = 2x$
$-22 = 2x$
$x = \frac{-22}{2} = -11$.
Ответ: -11.

107. В одну силосную яму заложили 90 т силоса, а в другую — 75 т. Когда из первой ямы взяли силоса в 3 раза больше, чем из второй, в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Сколько тонн силоса взяли из первой ямы?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ тонн силоса — это количество, которое взяли из второй ямы.

По условию, из первой ямы взяли в 3 раза больше, следовательно, из первой ямы взяли $3x$ тонн силоса.

Определим, сколько силоса осталось в каждой яме:

• В первой яме изначально было 90 т, взяли $3x$ т. Осталось: $90 - 3x$ т.
• Во второй яме изначально было 75 т, взяли $x$ т. Осталось: $75 - x$ т.

В условии сказано, что в первой яме силоса осталось в 2 раза меньше, чем во второй. Это означает, что количество силоса во второй яме равно удвоенному количеству силоса в первой. Запишем это в виде уравнения:

$75 - x = 2 \cdot (90 - 3x)$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$.

$75 - x = 180 - 6x$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$6x - x = 180 - 75$

$5x = 105$

$x = \frac{105}{5}$

$x = 21$

Мы нашли, что из второй ямы взяли 21 тонну силоса.

Вопрос задачи — сколько тонн силоса взяли из первой ямы. Это количество равно $3x$.

$3 \cdot 21 = 63$ (тонны).

Ответ: из первой ямы взяли 63 тонны силоса.