Номер 102, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 102, страница 27.

102. Докажите тождество

$\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$

Используя это тождество, упростите выражение

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

Докажите тождество

Для доказательства тождества $\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$ преобразуем его левую часть, приведя дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{x+n}$ и $\frac{1}{x+n+1}$ равен $(x+n)(x+n+1)$.

$\frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} = \frac{1 \cdot (x+n+1)}{(x+n)(x+n+1)} - \frac{1 \cdot (x+n)}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{(x+n+1) - (x+n)}{(x+n)(x+n+1)}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$\frac{x+n+1-x-n}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{(x+n)(x+n+1)}$

Левая часть равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Используя это тождество, упростите выражение

Рассмотрим выражение: $\frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} + \frac{1}{(x+3)(x+4)}$

Применим доказанное тождество $\frac{1}{(x+n)(x+n+1)} = \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1}$ к каждому слагаемому суммы.

1. Для первого слагаемого $\frac{1}{(x+1)(x+2)}$ значение $n=1$. Получаем:

$\frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}$

2. Для второго слагаемого $\frac{1}{(x+2)(x+3)}$ значение $n=2$. Получаем:

$\frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}$

3. Для третьего слагаемого $\frac{1}{(x+3)(x+4)}$ значение $n=3$. Получаем:

$\frac{1}{(x+3)(x+4)} = \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4}$

Теперь подставим полученные разности обратно в исходное выражение:

$(\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2}) + (\frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3}) + (\frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4})$

Сгруппируем слагаемые и увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются:

$\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x+3} + \frac{1}{x+3} - \frac{1}{x+4} = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+4}$

Приведем оставшиеся дроби к общему знаменателю $(x+1)(x+4)$:

$\frac{1 \cdot (x+4)}{(x+1)(x+4)} - \frac{1 \cdot (x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-(x+1)}{(x+1)(x+4)} = \frac{x+4-x-1}{(x+1)(x+4)} = \frac{3}{(x+1)(x+4)}$

Ответ: $\frac{3}{(x+1)(x+4)}$