Номер 95, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 95, страница 25.

95. Упростите выражение и найдите его значение при $x = -1,5$:

а) $\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$;

б) $\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$.

а) $\frac{x+1}{x^2-x} - \frac{x+2}{x^2-1}$

1. Упростим выражение.

Сначала разложим знаменатели на множители. В первой дроби вынесем $x$ за скобки, а во второй применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^2-x = x(x-1)$

$x^2-1 = (x-1)(x+1)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{x+1}{x(x-1)} - \frac{x+2}{(x-1)(x+1)}$

Общий знаменатель для этих дробей будет $x(x-1)(x+1)$. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{(x+1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)} - \frac{x(x+2)}{x(x-1)(x+1)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{(x+1)^2 - x(x+2)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{(x^2+2x+1) - (x^2+2x)}{x(x-1)(x+1)} = \frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x(x-1)(x+1)} = \frac{1}{x(x-1)(x+1)}$

Упрощенное выражение: $\frac{1}{x(x^2-1)}$ или $\frac{1}{x^3-x}$.

2. Найдем значение выражения при $x = -1,5$.

Подставим $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{1}{-1,5(-1,5-1)(-1,5+1)} = \frac{1}{-1,5(-2,5)(-0,5)}$

Перемножим числа в знаменателе. Удобнее это сделать, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:

$-1,5 = -\frac{3}{2}$; $-2,5 = -\frac{5}{2}$; $-0,5 = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(-\frac{3}{2})(-\frac{5}{2})(-\frac{1}{2})} = \frac{1}{-(\frac{3 \cdot 5 \cdot 1}{2 \cdot 2 \cdot 2})} = \frac{1}{-\frac{15}{8}} = -\frac{8}{15}$

Ответ: $-\frac{8}{15}$.

б) $\frac{x+2}{x^2+3x} - \frac{1+x}{x^2-9}$

1. Упростим выражение.

Разложим знаменатели на множители:

$x^2+3x = x(x+3)$

$x^2-9 = (x-3)(x+3)$ (по формуле разности квадратов)

Выражение принимает вид:

$\frac{x+2}{x(x+3)} - \frac{1+x}{(x-3)(x+3)}$

Общий знаменатель: $x(x-3)(x+3)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{(x+2)(x-3)}{x(x-3)(x+3)} - \frac{x(1+x)}{x(x-3)(x+3)}$

Объединим дроби и упростим числитель:

$\frac{(x+2)(x-3) - x(1+x)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{(x^2-3x+2x-6) - (x+x^2)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{x^2-x-6-x-x^2}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2x-6}{x(x-3)(x+3)}$

Вынесем в числителе общий множитель -2 за скобки и сократим дробь:

$\frac{-2(x+3)}{x(x-3)(x+3)} = \frac{-2}{x(x-3)}$

Упрощенное выражение: $\frac{-2}{x^2-3x}$.

2. Найдем значение выражения при $x = -1,5$.

Подставим $x = -1,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{-2}{-1,5(-1,5-3)} = \frac{-2}{-1,5(-4,5)} = \frac{-2}{1,5 \cdot 4,5}$

Перейдем к обыкновенным дробям для удобства вычислений:

$1,5 = \frac{3}{2}$; $4,5 = \frac{9}{2}$

$\frac{-2}{\frac{3}{2} \cdot \frac{9}{2}} = \frac{-2}{\frac{27}{4}} = -2 \cdot \frac{4}{27} = -\frac{8}{27}$

Ответ: $-\frac{8}{27}$.