Номер 89, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 89, страница 25.

89. Упростите выражение:

а) $\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2};$

б) $\frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2}.$

а)

Исходное выражение: $\frac{1}{a^2 + ab} + \frac{1}{ab + b^2}$

1. Разложим знаменатели дробей на множители. В первом знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a$, а во втором — $b$.

$a^2 + ab = a(a+b)$

$ab + b^2 = b(a+b)$

Теперь выражение выглядит так:

$\frac{1}{a(a+b)} + \frac{1}{b(a+b)}$

2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей с такими знаменателями будет $ab(a+b)$.

3. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $b$, а второй дроби — на множитель $a$.

$\frac{1 \cdot b}{a(a+b) \cdot b} + \frac{1 \cdot a}{b(a+b) \cdot a} = \frac{b}{ab(a+b)} + \frac{a}{ab(a+b)}$

4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{b+a}{ab(a+b)}$

5. В числителе получилось выражение $(b+a)$, которое равно $(a+b)$. Сократим дробь на общий множитель $(a+b)$.

$\frac{a+b}{ab(a+b)} = \frac{1}{ab}$

Ответ: $\frac{1}{ab}$

б)

Исходное выражение: $\frac{1}{b^2 - ab} - \frac{1}{ab - a^2}$

1. Разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе вынесем за скобки $b$, во втором — $a$.

$b^2 - ab = b(b-a)$

$ab - a^2 = a(b-a)$

Выражение принимает вид:

$\frac{1}{b(b-a)} - \frac{1}{a(b-a)}$

2. Общий знаменатель для этих дробей равен $ab(b-a)$.

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $a$, а для второй — $b$.

$\frac{1 \cdot a}{b(b-a) \cdot a} - \frac{1 \cdot b}{a(b-a) \cdot b} = \frac{a}{ab(b-a)} - \frac{b}{ab(b-a)}$

4. Вычтем дроби с одинаковыми знаменателями.

$\frac{a-b}{ab(b-a)}$

5. Заметим, что числитель $a-b$ и множитель в знаменателе $b-a$ отличаются только знаком. Вынесем в числителе $-1$ за скобки: $a-b = -(b-a)$.

$\frac{-(b-a)}{ab(b-a)}$

6. Сократим дробь на общий множитель $(b-a)$.

$\frac{-1}{ab} = -\frac{1}{ab}$

Ответ: $-\frac{1}{ab}$