Номер 96, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 96, страница 26.

96. Представьте в виде дроби:

а) $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $;

Б) $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $;

В) $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $;

Г) $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab} $.

а) Исходное выражение: $ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{y^2-4} $.

Чтобы сложить и вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого разложим знаменатели на множители. Знаменатель третьей дроби является разностью квадратов: $ y^2-4 = (y-2)(y+2) $.

Перепишем выражение:

$ \frac{4}{y+2} - \frac{3}{y-2} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} $

Наименьший общий знаменатель равен $ (y-2)(y+2) $. Найдем дополнительные множители для каждой дроби: для первой — $ (y-2) $, для второй — $ (y+2) $, для третьей — 1.

Приведем дроби к общему знаменателю и выполним действия:

$ \frac{4(y-2)}{(y+2)(y-2)} - \frac{3(y+2)}{(y-2)(y+2)} + \frac{12}{(y-2)(y+2)} = \frac{4(y-2) - 3(y+2) + 12}{(y-2)(y+2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ \frac{4y - 8 - 3y - 6 + 12}{(y-2)(y+2)} = \frac{(4y-3y) + (-8-6+12)}{(y-2)(y+2)} = \frac{y-2}{(y-2)(y+2)} $

Сократим дробь на общий множитель $ (y-2) $:

$ \frac{1}{y+2} $

Ответ: $ \frac{1}{y+2} $.

б) Исходное выражение: $ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{36-a^2} $.

Разложим знаменатель третьей дроби на множители. Для удобства вынесем минус за скобки: $ 36-a^2 = -(a^2-36) = -(a-6)(a+6) $.

Подставим это в выражение и изменим знак перед третьей дробью:

$ \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} + \frac{a^2}{-(a-6)(a+6)} = \frac{a}{a-6} - \frac{3}{a+6} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} $

Общий знаменатель — $ (a-6)(a+6) $. Приведем дроби к нему:

$ \frac{a(a+6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{3(a-6)}{(a-6)(a+6)} - \frac{a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{a(a+6) - 3(a-6) - a^2}{(a-6)(a+6)} $

Упростим числитель:

$ \frac{a^2 + 6a - 3a + 18 - a^2}{(a-6)(a+6)} = \frac{3a + 18}{(a-6)(a+6)} $

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$ \frac{3(a+6)}{(a-6)(a+6)} $

Сократим дробь на $ (a+6) $:

$ \frac{3}{a-6} $

Ответ: $ \frac{3}{a-6} $.

в) Исходное выражение: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2x-2y} $.

В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель 2 за скобки: $ 2x-2y = 2(x-y) $.

Получим: $ \frac{x^2}{(x-y)^2} - \frac{x+y}{2(x-y)} $.

Наименьший общий знаменатель равен $ 2(x-y)^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — 2, для второй — $ (x-y) $.

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{2x^2}{2(x-y)^2} - \frac{(x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - (x+y)(x-y)}{2(x-y)^2} $

В числителе применим формулу разности квадратов $ (x+y)(x-y) = x^2-y^2 $:

$ \frac{2x^2 - (x^2-y^2)}{2(x-y)^2} = \frac{2x^2 - x^2 + y^2}{2(x-y)^2} = \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $

Ответ: $ \frac{x^2+y^2}{2(x-y)^2} $.

г) Исходное выражение: $ \frac{b}{(a-b)^2} - \frac{a+b}{b^2-ab} $.

Разложим на множители знаменатель второй дроби: $ b^2-ab = b(b-a) $.

Заметим, что $ b-a = -(a-b) $. Используем это для преобразования второй дроби:

$ \frac{a+b}{b^2-ab} = \frac{a+b}{b(b-a)} = \frac{a+b}{-b(a-b)} = -\frac{a+b}{b(a-b)} $

Подставим преобразованную дробь в исходное выражение:

$ \frac{b}{(a-b)^2} - (-\frac{a+b}{b(a-b)}) = \frac{b}{(a-b)^2} + \frac{a+b}{b(a-b)} $

Наименьший общий знаменатель — $ b(a-b)^2 $. Дополнительный множитель для первой дроби — $ b $, для второй — $ (a-b) $.

$ \frac{b \cdot b}{b(a-b)^2} + \frac{(a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} = \frac{b^2 + (a+b)(a-b)}{b(a-b)^2} $

В числителе используем формулу разности квадратов:

$ \frac{b^2 + a^2 - b^2}{b(a-b)^2} = \frac{a^2}{b(a-b)^2} $

Ответ: $ \frac{a^2}{b(a-b)^2} $.