Номер 98, страница 26 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 98, страница 26.

98. Упростите выражение:

a) $\frac{1}{a-4b} - \frac{1}{a+4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2}$;

б) $\frac{1}{2b-2a} + \frac{1}{2b+2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3}$.

а)

Дано выражение: $ \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{16b^2 - a^2} $.

1. Разложим на множители знаменатель третьей дроби, используя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$: $ 16b^2 - a^2 = (4b)^2 - a^2 = (4b - a)(4b + a) $.

2. Заметим, что множитель $ (4b - a) $ связан с множителем $ (a - 4b) $ из первой дроби: $ 4b - a = -(a - 4b) $. Это позволяет нам переписать знаменатель третьей дроби: $ (4b - a)(4b + a) = -(a - 4b)(a + 4b) $.

3. Подставим это в исходное выражение. Чтобы упростить дальнейшие вычисления, изменим знак перед третьей дробью и знак ее знаменателя: $ \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} - \frac{2a}{-(a^2 - 16b^2)} = \frac{1}{a - 4b} - \frac{1}{a + 4b} + \frac{2a}{a^2 - 16b^2} $.

4. Теперь общий знаменатель для всех дробей — это $ a^2 - 16b^2 = (a - 4b)(a + 4b) $. Приведем все дроби к этому знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — $ (a + 4b) $, для второй — $ (a - 4b) $. Третья дробь уже имеет нужный знаменатель. $ \frac{1 \cdot (a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} - \frac{1 \cdot (a - 4b)}{(a + 4b)(a - 4b)} + \frac{2a}{(a - 4b)(a + 4b)} $.

5. Запишем все под общим знаменателем и выполним действия в числителе: $ \frac{(a + 4b) - (a - 4b) + 2a}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{a + 4b - a + 4b + 2a}{a^2 - 16b^2} $.

6. Приведем подобные слагаемые в числителе: $ \frac{(a - a + 2a) + (4b + 4b)}{a^2 - 16b^2} = \frac{2a + 8b}{a^2 - 16b^2} $.

7. Вынесем общий множитель 2 в числителе: $ 2a + 8b = 2(a + 4b) $. $ \frac{2(a + 4b)}{a^2 - 16b^2} $.

8. Сократим дробь, разложив знаменатель на множители: $ \frac{2(a + 4b)}{(a - 4b)(a + 4b)} = \frac{2}{a - 4b} $.

Ответ: $ \frac{2}{a - 4b} $.

б)

Дано выражение: $ \frac{1}{2b - 2a} + \frac{1}{2b + 2a} + \frac{a^2}{a^2b - b^3} $.

1. Разложим на множители знаменатели всех дробей:
$ 2b - 2a = 2(b - a) $
$ 2b + 2a = 2(b + a) $
$ a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) = b(a - b)(a + b) $

2. Удобно сначала сложить первые две дроби. Их общий знаменатель $ 2(b - a)(b + a) = 2(b^2 - a^2) $: $ \frac{1}{2(b - a)} + \frac{1}{2(b + a)} = \frac{1 \cdot (b + a) + 1 \cdot (b - a)}{2(b - a)(b + a)} = \frac{b + a + b - a}{2(b^2 - a^2)} = \frac{2b}{2(b^2 - a^2)} = \frac{b}{b^2 - a^2} $.

3. Теперь добавим к результату третью дробь: $ \frac{b}{b^2 - a^2} + \frac{a^2}{a^2b - b^3} $.

4. Подставим разложенный на множители знаменатель третьей дроби: $ a^2b - b^3 = b(a^2 - b^2) $. Также заметим, что $ b^2 - a^2 = -(a^2 - b^2) $. Преобразуем первую дробь: $ \frac{b}{-(a^2 - b^2)} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} = -\frac{b}{a^2 - b^2} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} $.

5. Общий знаменатель теперь $ b(a^2 - b^2) $. Приведем первую дробь к этому знаменателю, домножив числитель и знаменатель на $b$: $ -\frac{b \cdot b}{b(a^2 - b^2)} + \frac{a^2}{b(a^2 - b^2)} = \frac{-b^2 + a^2}{b(a^2 - b^2)} $.

6. Упростим выражение в числителе: $ \frac{a^2 - b^2}{b(a^2 - b^2)} $.

7. Сократим дробь на общий множитель $ (a^2 - b^2) $: $ \frac{1}{b} $.

Ответ: $ \frac{1}{b} $.