Номер 103, страница 27 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 103, страница 27.

103. Две речные пристани $A$ и $B$ расположены на расстоянии $s$ км друг от друга. Между ними курсирует катер, скорость которого в стоячей воде равна $v$ км/ч. Сколько времени $t$ ч потребуется катеру на путь от $A$ до $B$ и обратно, если скорость течения реки равна $5$ км/ч? Найдите $t$ при:

а) $s = 50$, $v = 25$;

б) $s = 105$, $v = 40$.

Для решения задачи нам нужно найти общее время $t$, которое катер затратит на путь от пристани А до пристани В и обратно. Обозначим:

• $s$ — расстояние между пристанями А и В в км.
• $v$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде) в км/ч.
• $v_{теч}$ — скорость течения реки, которая по условию равна 5 км/ч.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения. Скорость катера по течению равна:

$v_{по\_теч} = v + v_{теч} = v + 5$ (км/ч)

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения. Скорость катера против течения равна:

$v_{против\_теч} = v - v_{теч} = v - 5$ (км/ч)

Время, затраченное на путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{V}$, где $S$ — расстояние, а $V$ — скорость. Таким образом, общее время $t$ на путь туда и обратно будет суммой времени движения по течению ($t_1$) и времени движения против течения ($t_2$):

$t = t_1 + t_2 = \frac{s}{v_{по\_теч}} + \frac{s}{v_{против\_теч}} = \frac{s}{v+5} + \frac{s}{v-5}$

Теперь подставим конкретные значения из каждого пункта.

a)

По условию: $s = 50$ км, $v = 25$ км/ч.

1. Найдем время движения по течению:

$t_1 = \frac{s}{v+5} = \frac{50}{25+5} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}$ ч.

2. Найдем время движения против течения:

$t_2 = \frac{s}{v-5} = \frac{50}{25-5} = \frac{50}{20} = \frac{5}{2}$ ч.

3. Найдем общее время:

$t = t_1 + t_2 = \frac{5}{3} + \frac{5}{2} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{10}{6} + \frac{15}{6} = \frac{25}{6}$ ч.

Можно представить этот результат как $4 \frac{1}{6}$ часа, или 4 часа и 10 минут.

Ответ: $t = \frac{25}{6}$ ч.

б)

По условию: $s = 105$ км, $v = 40$ км/ч.

1. Найдем время движения по течению:

$t_1 = \frac{s}{v+5} = \frac{105}{40+5} = \frac{105}{45} = \frac{21 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{21}{9} = \frac{7 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{7}{3}$ ч.

2. Найдем время движения против течения:

$t_2 = \frac{s}{v-5} = \frac{105}{40-5} = \frac{105}{35} = 3$ ч.

3. Найдем общее время:

$t = t_1 + t_2 = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}$ ч.

Можно представить этот результат как $5 \frac{1}{3}$ часа, или 5 часов и 20 минут.

Ответ: $t = \frac{16}{3}$ ч.