Номер 87, страница 25 - гдз по алгебре 8 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. § 2. Сумма и разность дробей. Глава 1. Рациональные дроби - номер 87, страница 25.

87. Докажите, что при всех допустимых значениях $y$ значение выражения не зависит от $y$:

a) $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$

б) $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$

а) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от y, необходимо его упростить. Сначала определим допустимые значения переменной y. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю, поэтому:

$2y+2 \neq 0 \Rightarrow 2(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$

$3y+3 \neq 0 \Rightarrow 3(y+1) \neq 0 \Rightarrow y \neq -1$

Следовательно, выражение определено для всех значений y, кроме $y = -1$.

Теперь упростим данное выражение: $\frac{5y+3}{2y+2} - \frac{7y+4}{3y+3}$.

Вынесем общий множитель в знаменателях:

$\frac{5y+3}{2(y+1)} - \frac{7y+4}{3(y+1)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $6(y+1)$:

$\frac{3(5y+3)}{6(y+1)} - \frac{2(7y+4)}{6(y+1)} = \frac{3(5y+3) - 2(7y+4)}{6(y+1)}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{15y+9 - (14y+8)}{6(y+1)} = \frac{15y+9 - 14y - 8}{6(y+1)} = \frac{(15y-14y) + (9-8)}{6(y+1)} = \frac{y+1}{6(y+1)}$

Поскольку $y \neq -1$, то $y+1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y+1)$:

$\frac{1}{6}$

В результате упрощения мы получили число $\frac{1}{6}$, которое не зависит от переменной y. Это доказывает утверждение задачи.

Ответ: значение выражения равно $\frac{1}{6}$.

б) Упростим выражение $\frac{11y+13}{3y-3} + \frac{15y+17}{4-4y}$.

Найдем область допустимых значений y. Знаменатели не должны обращаться в ноль:

$3y-3 \neq 0 \Rightarrow 3(y-1) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

$4-4y \neq 0 \Rightarrow 4(1-y) \neq 0 \Rightarrow y \neq 1$

Выражение определено для всех значений y, кроме $y = 1$.

Преобразуем знаменатели, вынеся за скобки общий множитель:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} + \frac{15y+17}{4(1-y)}$

Во втором знаменателе $1-y = -(y-1)$, поэтому изменим знак перед второй дробью:

$\frac{11y+13}{3(y-1)} - \frac{15y+17}{4(y-1)}$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю $12(y-1)$:

$\frac{4(11y+13)}{12(y-1)} - \frac{3(15y+17)}{12(y-1)} = \frac{4(11y+13) - 3(15y+17)}{12(y-1)}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{44y+52 - (45y+51)}{12(y-1)} = \frac{44y+52 - 45y - 51}{12(y-1)} = \frac{(44y-45y) + (52-51)}{12(y-1)} = \frac{-y+1}{12(y-1)}$

Вынесем $-1$ за скобки в числителе:

$\frac{-(y-1)}{12(y-1)}$

Так как $y \neq 1$, то $y-1 \neq 0$, и мы можем сократить дробь на $(y-1)$:

$-\frac{1}{12}$

Результат упрощения, $-\frac{1}{12}$, является константой и не зависит от y, что и требовалось доказать.

Ответ: значение выражения равно $-\frac{1}{12}$.